選擇問題（Selection Problem），即在n個元素的集合中尋找第K小的元素的問題。第K小的元素又叫第K個順序統計量。有以下幾種變體：
- 找最大值和最小值；同時找最大和最小值
- 找中位數（第n/2小）
- 找任意第K小的元素
- 找Top-K的元素

找最大值和最小值

要確定最大值或者最小值，在n個元素中進行n-1次比較是必須的，也是最優方法。

要同時確定最大值和最小值，如果獨立尋找，各用n-1次比較，共用2n-2次比較，但這不是最優方法。

事實上，最多需要3n/2次比較就可以同時找到最大最小值：

1. 成對處理元素，兩兩成對比較大小，得到較大的元素和較小元素（1次比較）
2. 較大元素和當前最大值比較，較小元素和當前最小值比較（2次比較）
3. 處理n/2對元素共需要3n/2次比較

當n為奇數，把第一個元素設為最大值和最小值，剩下的兩兩成對，共做3n/2次比較；當n為偶數，先做一次初始比較，然後做剩下的3(n-2)/2次比較，共3n/2-2次比較。因此最多做3n/2次比較。

選擇演算法（線性時間）

類似於快排的劃分函式，用分治法實現最壞情況線性時間O(n)的選擇演算法。

選擇演算法Select(S, k)：
1. 將n個元素劃分為n/5組，每組5個元素，最多有一個組由剩下的n mod 5個元素組成
2. 尋找ceil(n/5)個組中每一組的中位數：對每組5個元素進行插入排序，排序後選擇中位數
3. 從2中找出的ceil(n/5)箇中位數，遞迴呼叫Select()找出其中位數x
4. 用劃分函式將輸入元素按x進行劃分，比x小的構成S1，比x大的構成S2
5. 如果|S1|=k-1，則返回x為所求（第k小）
6. 否則如果|S1|>k，則在S1呼叫Select(S1, k)；否則在S2呼叫Select(S2, k-|S1|-1)

用迭代法可以證明這個Select演算法將時間複雜度降到限行時間O(n)

Reference

• 《演算法導論（第二版）》第9章