Jacobian矩陣

在向量分析中, 雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣, 其行列式稱為雅可比行列式.
雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近. 因此, 雅可比矩陣類似於多元函式的導數.

假設F:Rn→Rm是一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函式. 這個函式由m個實函式組成: y1(x1,…,xn),…,ym(x1,…,xn). 這些函式的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣, 這就是所謂的雅可比矩陣：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x1⋮∂ym∂x1⋯⋱⋯∂y1∂xn⋮∂ym∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
本質上是一個列向量對列向量求偏微分。此矩陣表示為:
J

F(x1,...,xn) 或者 ∂(y1,...,ym)∂(x1,...,xn)
如果P是Rn中的一點, F在P點可微分, 那麼在這一點的導數由JF(P)給出(這是求該點導數最簡便的方法). 在此情況下, 由F(P)描述的線性運算元即接近點P的F的最優線性逼近, x逼近於P:
F(x)≈F(p)+JF(p)⋅(x–p)

Hessian矩陣

在數學中, 海森矩陣(Hessian matrix或Hessian)是一個自變數為向量的實值函式的二階偏導陣列成的方塊矩陣, 此函式如下：
f(x1,x2,...,xn)
如果f的所有二階導數都存在, 那麼f的海森矩陣即：
H(f)ij(x

)=DiDjf(x)
其中H(f)為：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂2f∂x21∂2f∂x2∂x1⋮∂2f∂xn∂x1⋯⋯⋱⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn⋮∂2f∂x2n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

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