561. Array Partition I

Given an array of 2n integers, your task is to group these integers into n pairs of integer, say (a1, b1), (a2, b2), …, (an, bn) which makes sum of min(ai, bi) for all i from 1 to n as large as possible.

題目大意：
給定一個長度為2n(偶數)的陣列，分成n個小組，返回每組中較小值的和sum，使sum儘量大
Example 1:

Input: [1,4,3,2]
Output: 4
Explanation: n is 2, and the maximum sum of pairs is 4.
 

Note:

• n is a positive integer, which is in the range of [1, 10000].
• All the integers in the array will be in the range of [-10000, 10000].

思路：

• 先排序，將相鄰兩個數分為一組，每組較小數都在左邊，求和即可

演算法分析：
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• 假設對於每一對i，bi >= ai。
• 定義Sm = min（a1，b1）+ min（a2，b2）+ … + min（an，bn）。最大的Sm是這個問題的答案。由於bi >= ai，Sm = a1 + a2 + … + an。
• 定義Sa = a1 + b1 + a2 + b2 + … + an + bn。對於給定的輸入，Sa是常數。
• 定義di = | ai - bi |。由於bi >= ai，di = bi-ai, bi = ai+di。
• 定義Sd = d1 + d2 + … + dn。
• 所以Sa = a1 + (a1 + d1) + a2 + (a2 + d2) + … + an + (an + di) = 2Sm + Sd , 所以Sm =（Sa-Sd）/ 2。為得到最大Sm，給定Sa為常數，需要使Sd儘可能小。
• 所以這個問題就是在陣列中找到使di（ai和bi之間的距離）的和儘可能小的對。顯然，相鄰元素的這些距離之和是最小的。

程式碼如下：

// https://leetcode.com/problems/array-partition-i/#/description原題
//https://discuss.leetcode.com/topic/87206/java-solution-sorting-and-rough-proof-of-algorithm
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Solution {
public:
    int arrayPairSum(vector<int>& nums) {
        int res = 0;
        sort(nums.begin(), nums.end());
        for(int i=0; i<nums.size(); i+=2){
            res += nums[i];
        }
        return res;
    }
};
int main()
{
    Solution a;
    int num[4] = {1, 4, 3, 2};
    int numLength = sizeof(num) / sizeof(num[0]);
    vector<int> nums(num, num+numLength);
    cout << a.arrayPairSum(nums) << endl;
    return 0;
}