最長迴文子串（動態規劃和遞迴）
給一個字串，找出它的最長的迴文子序列的長度。例如，如果給定的序列是“BBABCBCAB”，則輸出應該是7，“BABCBAB”是在它的最長迴文子序列。 “BBBBB”和“BBCBB”也都是該字串的迴文子序列，但不是最長的。注意和最長迴文子串的區別(參考：最長迴文串)！這裡說的子序列，類似最長公共子序列LCS( Longest Common Subsequence)問題，可以是不連續的。這就是LPS(Longest Palindromic Subsequence)問題。
最直接的解決方法是：生成給定字串的所有子序列，並找出最長的迴文序列，這個方法的複雜度是指數級的。下面來分析怎麼用動態規劃解決。
1）最優子結構
假設 X[0 ... n-1] 是給定的序列，長度為n. 讓 L(0,n-1) 表示 序列 X[0 ... n-1] 的最長迴文子序列的長度。
1. 如果X的最後一個元素和第一個元素是相同的，這時：L(0, n-1) = L(1, n-2) + 2 , 還以 “BBABCBCAB” 為例，第一個和最後一個相同，因此 L(1,n-2) 就表示藍色的部分。
2. 如果不相同：L(0, n-1) = MAX ( L(1, n-1) , L(0, n-2) )。 以”BABCBCA” 為例，L(1,n-1)即為去掉第一個元素的子序列，L(0, n-2)為去掉最後一個元素。
有了上面的公式，可以很容易的寫出下面的遞迴程式：
01 |
#include<stdio.h> |
02 |
#include<string.h> |
03 |
int lps(char *seq, int i, int j) |
04 |
{ |
05 |
//一個元素即為1 |
06 |
if (i
== j) |
07 |
return1; |
08 |
if(i
> j) return 0; //因為只計算序列
seq[i ... j] |
09 |
10 |
//
如果首尾相同 |
11 |
if (seq[i]
== seq[j]) |
12 |
return lps
(seq, i+1, j-1) + 2; |
13 |
14 |
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