BF演算法是基於主串指標回溯，重新與子串進行逐字元進行比較，主串為S什麼要進行回溯呢，原因在於模式P中存在相同的字元或者說由字元（串）存在重複（模式的部分匹配性質），設想如果模式P中字元各不相同，主串就S的指標就根本不需要回溯；然而，我們可以發現在主串S與模式發生失配時，主串指標進行回溯會影響效率，因為由於模式S本身字元的部分部分匹配性質，回溯之後，主串S與模式T有些部分比較是沒有必要的，這就是對BF演算法所要改進的地方。

BF演算法的執行過程：
例：S =″aaaaaaaaaaab″
T =″aaab″

KMP演算法的執行過程：
例：S =″ababcabcacbab″
T =″abcac″

BF演算法思想

1. 在串 S 和串 T 中分別設比較的起始下標 i 和 j;
2. 迴圈直到 S 中所剩字元個數小於 T 的長度或 T 的所有字元均比較完
   2 .1如果 S[i] = T [j] ,則繼續比較 S 和 T 的下一個字元 ;
   2 .2 如果S[i] != T [j],將 i 和 j 回溯 ,準備下一趟比較 ;
3. 如果 T 中所有字元均比較完 , 則匹配成功 , 返回匹配的起始比較下標 ;
   否則 ,匹配失敗 ,返回 0;

int
 
 BF(String S, String T, int pos) {//pos是進行模式匹配的起始位置
    int i = 0;
    int j = 0;
    int start = 0;//子串的起始位置
    if (pos < 0 || (pos + T.length >= S.length)) {//起始位置小於0或者起始位置加上模式串的長度大於主串的長度，就不用進行匹配了
        printf("Irregular position.\n");
    } else {//進行匹配
        i = pos - 1;
        while (i < S.length
 
 && j < T.length) {
            if (S.str[i] == T.str[j]) {
                if (j == 0) {
                    start = i;//記錄子串的起始位置
                }
                i++;
                j++;
            } else {
                //若前面的字元都不同，tag一直為0，所以必須分情況討論
                if (j != 0) {
                    i = start + 1;
                } else {
                    i = i + 1;
                }
                j = 0;
            }
        }
        if (j == T.length) {
            printf("ok\n");
            printf("start position = %d\n", start + 1);
        } else {
            printf("bu ok\n");
        }
    }

    return (start + 1);//返回子串的起始位置的邏輯位置
}

KMP演算法
KMP的演算法中需要用到一個next陣列，該陣列是用來確定失配後模式串迴圈變數j回溯的位置的。

next陣列的計算

在“aba”中，字首是真字首的所有子串的集合，包括“a”、“ab”，除去最後一個字元的剩餘字串叫做真字首在“aba”中，真字首“ab”。同理，真字尾就是除去第一個字元的後面全部的字串。
next就是字首和字尾中相同的子串的最大長度
例如：
1. 在“aba”中，字首是“a”，字尾是“a”，那麼兩者相同子串最長的就是“a”，相同的子串的最的長度就是1；
2. 在“ababa”中，字首是“aba”，字尾是“aba”，二者相同子串最長的是“aba”，相同的子串的最的長度就是3；
3. 在“abcabcdabc”中，字首是“abc”，字尾是“abc”，二者相同子串最長的是“abc”，相同的子串的最的長度就是3；
這裡有一點要注意，字首必須要從頭開始算，字尾要從最後一個數開始算，中間截一段相同字串是不行的

next陣列的計算還有簡單的方法，上述使用最基礎的方法計算的，便於理解

KMP演算法思想

1. 在串 S 和串 T 中分別設比較的起始下標 i 和 j;
2. 迴圈直到 S 中所剩字元長度小於 T 的長度或 T 中所有字元均比較完畢
   2 .1 如果 S[i] = T [j],則繼續比較 S 和 T 的下一個字元 ;
   2 .2 如果S[i] != T [j],將 j 向右滑動到 next[ j] 位置 ,即 j = next[j] ;
   2 .3 如果 j = 0 ,則將 i 和 j 分別加 1 ,準備下一趟比較;
3. 如果 T 中所有字元均比較完畢 , 則返回匹配的起始下標 ,否則返回 0;

此處next陣列使用一種簡單的方法計算的，此處就不過多解釋了，可以去網上學習一下，網上資源很多

//計算next的值
void getNext(String T, int next[]) {
    int i;//迴圈變數
    int k;

    next[0] = -1;
    for (i = 1; T.str[i] != '\0'; ++i) {
        k = next[i - 1];
        while (k != -1) {
            if (T.str[i - 1] == T.str[k]) {
                next[i] = k + 1;
                break;
            } else {
                k = next[k];
            }
        }
        if (k == -1) {
            next[i] = 0;
        }
    }
}

KMP演算法的匹配

int KMP(String S, String T, int next[]) {
    int start = 0;
    int i = 0;//主串的迴圈變數
    int j = 0;//模式串的迴圈變數

    while (i < S.length && j < T.length) {
        if (S.str[i] == T.str[j]) {//若主串和模式串的字元相同，都向後移一位
            i++;
            j++;
        } else {//若失配了，模式串的迴圈變數就要根據next陣列回溯
            j = next[j];
            if (j == -1) {
                i++;
                j++;//j=-1時，j必須要加1，否則下標越界導致執行出錯
            }
        }

    }
    if (j == T.length) {//判斷匹配是否成功
        start = i - T.length + 1;
        return start;
    }
    return -1;
}

此外還需要做一些準備工作

#include <stdio.h>

#define MAX_SIZE 100

typedef struct {//定義一個字串的結構體
    char str[MAX_SIZE];
    int length;//字串的長度
} String;

//初始化
int initString(String *S) {
    S->length = 0;
    return 1;
}

用main函式測試一下

int main() {
    String S;//主串
    String T;//模式串

    initString(&S);//初始化
    initString(&T);

    createStr(&S);//從輸入字串
    createStr(&T);

    printf("----------BF&KMP----------\n");
    BF(S, T, 0);

    printf("----------KMP----------\n");
    int next[T.length];

    getNext(T, next);
    for (int i = 0; i < T.length; ++i) {
        printf("next[%d] = %d\t", i, next[i]);
    }
    printf("\n");

    int start = KMP(S, T, next);
    printf("\nstart position = %d\n", start);

    return 0;
}

例：
S = “ababcabccabcacbab”
T = “abcac”
執行結果：