NOIPD110分滾粗。
心累。
學點有趣的治癒一下。
突然想起似乎之前還有個坑沒有填，就練一波英語閱讀。

矩形面積交

給出一個集合包含N個與座標軸對稱的矩形（矩形的邊與x軸、y軸平行），找到所有的矩形的重疊部分。其中一個矩形由兩個點代表，一個是左下角的點，一個是右上角的點。
這個問題的事件，是垂直的邊。當我們遇到一條左邊，我們進行一些操作；遇到一條右邊，進行另一些操作。左邊由左下角來代表，右邊由右上角代表。
我們以對x座標的排序來開始整個演算法。當一個長方形左下角的點被遇到（也就是說我們遇到了長方形的左邊），我們將之插入到集合中。當我們遇到了右上角的點（也就是遇到了長方形的右邊），我們將長方形從集合中清除出去。在任何情況，集合中只存在被掃描線掃到的矩形（即已遇到左邊但未遇到右邊）。
掃到的面積是Δy*Δx，其中Δy是掃描線被矩形切割的長度（下圖中的紅色部分），Δx為兩個掃描線事件之間的距離。
但是現在我們只知道哪些是被掃描線被切割的矩形。因此，這裡我們有一個新的問題：如何找到被切割的最大長度？
其做法與我們剛才（參見上一篇）做的類似。我們仍然用掃描線技術，不過這條線現在要旋轉90°，換言之，我們從下到上去掃描被掃到的矩形。我們用一個變數cnt維護當前重疊的矩形數量。當我們遇到一條底邊就讓cnt+1，遇到一條上邊就讓cnt-1，當cnt從非0變為0時我們就找到了掃描線被切割的長度。
下面來看看它是如何執行的。

上面的影象向我們展示了水平掃描線的執行過程， Δy 就是最後一張圖片展示的兩個箭頭長度之和。
這就是我們的演算法，接下來考慮列舉的部分。對於每一個掃描線的事件，我們需要找到掃描線切出的長度，也就是推進水平掃描線長度。這裡以bool陣列作為資料結構，因為我們可以分別以橫、縱來做一次排序。
下面是cpp程式碼：

#define MAX 1000
struct event 
{
    int ind; // 眾多矩形中該矩形的索引
    bool type; // 事件型別，0表示左下，1表示右上
    event() {};
    event(int ind, int
 
 type) : ind(ind), type(type) {};
};
struct point 
{
    int x, y;
};
point rects [MAX][12]; // 每個矩形包含兩個頂點: [0]=左下;[1]=右上
bool compare_x(event a, event b) { 
    return rects[a.ind][a.type].x<rects[b.ind][b.type].x; 
}
bool compare_y(event a, event b) { 
    return rects[a.ind][a.type].y<rects[b.ind][b.type
 
].y; 
}
int union_area(event events_v[],event events_h[],int n,int e)
{
       //n是矩形數量, e=2*n , e是頂點數量(在矩形集合中每個矩形以兩個點被申明)
        bool in_set[MAX]={0};
        int area=0;
        sort(events_v, events_v+e, compare_x);  //豎直邊的預處理
        sort(events_h, events_h+e, compare_y); // 水平邊的預處理
        in_set[events_v[0].ind] = 1;
        for (int i=1;i<e;++i) 
        { // 水平掃描線
                event c = events_v[i];
                int cnt = 0; // 表明有多少矩形重疊的計數器
                // Delta_x: 當前線與之前線的距離
                int delta_x = rects[c.ind][c.type].x - rects[events_v[i-1].ind][events_v[i-1].type].x;
                int begin_y;
                if (delta_x==0){
                        in_set[c.ind] = (c.type==0);
                        continue;
                }
                for (int j=0;j<e;++j)
                        if (in_set[events_h[j].ind]==1)                 //當前矩形的水平掃描線
                        {
                                if (events_h[j].type==0)                //是底邊
                                {
                                        if (cnt==0) begin_y = rects[events_h[j].ind][0].y; // 某一塊開始
                                        ++cnt;                          //重疊矩形增加量
                                }
                                else    //是上面的線
                                {
                                        --cnt;                          //矩形已經不被重疊，所以移除之
                                        if (cnt==0)                     //一塊的結束
                                        {
                                                int delta_y = (rects[events_h[j].ind][13].y-begin_y);//豎直掃描線被切割的長度
                                                area+=delta_x * delta_y;
                                        }
                                }
                        }
                in_set[c.ind] = (c.type==0);//如果是左邊, 矩形在當前集合中，否則不在
        }
    return area;
}

複雜度顯然是O(n^2)。如果用其它資料結構(如BST)維護，可以降到O(nlogn)
現在，你已經多少了解這項技術了，不是嗎？（並不）
讓我們去下一個可以用這項技術解決的問題吧。（沒錯，就是凸包）