Dirac 定理： 設一個無向圖中有 N 個節點，若所有節點的度數都大於等於 N/2，則漢密爾頓迴路一定存在。注意，“N/2” 中的除法不是整除，而是實數除法。如果 N 是偶數，當然沒有歧義；如果 N 是奇數，則該條件中的 “N/2” 等價於 “⌈N/2⌉”。

而我想從自己的理解用反證法來證明一下：

我們先假設N為偶數，如果偶數成立，那當為奇數的時候很明顯（邊 / 點）的值更大出現迴路的可能性更大（這只是我的一種理解方式，其實也可以按照偶數的方式證明的）

一：首先可以證明圖一定是連通的：

前提：設 d(v) 表示節點 v 的度數。對於任意兩個節點 u、 v，若它們不相鄰，則可能和它們相鄰的節點共有 N - 2 個，而 d(u) + d(v) ≥ N/2 + N/2 ≥ N。

1：假設u和v不連通

2：則儘量使得u和v的度數連向不同的點（即儘量別出現某點同時和u，v點同時相連），那麼將有（N - 2）/ 2的點和u連，（N - 2）/ 2的點和v連；

而d（u） = N / 2   = (N - 2) / 2 + 1；所以u至少還得連線一個已經被v連線的點，

3：存在一個點同時和u，v連線，那麼u，v可達；

所以這樣u和v就能通過這個點連通了。（同理：v會和已經被u連線好的點連線）

二：現在證明存在一個連線所有N個點的迴路：

步驟1.先證明存在k（k <= N）個點的的哈密頓迴路。

（1）任意找兩個相鄰的節點 S 和 T，在它們基礎上擴展出一條儘量長的沒有重複節點的路徑。也就是說，如果 S 與節點 v 相鄰，而且 v 不在路徑 S → T 上，則可以把該路徑變成 v → S → T，然後 v 成為新的 S。從 S 和 T 分別向兩頭擴充套件，直到無法擴為止，即所有與 S 或 T 相鄰的節點都在路徑 S → T 上。此時這條路徑的點數為k 個。

（2）而 d(S) + d(T) ≥ N/2 + N/2 ≥ N >= k；只要證明S到T的路徑上存在點vi和T相連，vj和S相連（i < j）那麼i到j路徑任意相連兩點都能作為迴路的始末點。

證明如下：

【1】假設與S相連的都在編號為2到k/2,T相連的是k/2到k - 1，這樣就能保證不會存在點（i < j）vi和T相連，vj和S相連

【2】但是這樣和S的度數最多為：k/2 - 1 <= N / 2 - 1,則d(S) <= N / 2 - 1和d(S) >= N / 2矛盾。

【3】所以必須和S相連的會有一個點大於k/2，證明完畢。

if（k = N）證明完畢；

else 跳到步驟2；

步驟2：

（1）由步驟1得到k個點的哈密頓迴路。

（2）當存在第k+1點即不和S相連，又不和T相連，則必定和S到T間的點Vi相連，否則不連通，這樣就可以斷開k個點的迴路Vi附近的邊，形成新的S->T的路徑，之後可以回到步驟1，直到k = N。

競賽圖：每對頂點之間都有一條邊相連的有向圖稱為競賽圖

證明：n(n>=2)階競賽圖一定存在哈密頓通路

歸納法：假設當1到k個點已經為哈密頓通路1-> 2 -> ....->k，再把Vk+1歸併進去：

1：當假k個點中有相鄰的兩個點Vi->Vi + 1，出現Vi -> Vk+1，Vk+1 -> Vi+1，則Vk+1直接插入Vi->Vi+1

2:當假k個點中有相鄰的兩個點Vi->Vi + 1，出現Vi -> Vk+1，Vi+1 ->Vk+1,當往右追溯到k的話如果一直都是指向Vk+1的話，那必然出現Vk->Vk+1

否則會出現1的情況。

3：當假k個點中有相鄰的兩個點Vi->Vi + 1，出現 Vk+1  -> Vi，那就往左追溯到1，如果一直Vk+1指向vj（1 <= j <= i）的話,那必然會出現Vk+1 -> V1

否則會出現1的情況。