1.浮點數的儲存格式

浮點數在C/C++中對應float和double型別，我們有必要知道浮點數在計算機中實際儲存的內容。

IEEE754標準中規定float單精度浮點數在機器中表示用 1 位表示數字的符號，用 8 位來表示指數，用23 位來表示尾數，即小數部分。對於double雙精度浮點數，用 1 位表示符號，用 11 位表示指數，52 位表示尾數，其中指數域稱為階碼。IEEE 浮點值的格式如下圖所示。

注意，IEE754規定浮點數階碼E採用”指數ｅ的移碼-1”來表示，請記住這一點。為什麼指數移碼要減去1，這是IEEE754對階碼的特殊要求，以滿足特殊情況，比如對正無窮的表示。

2.浮點數的規格化

若不對浮點數的表示作出明確的規定，同一個浮點數的表示就不是唯一的。例如(1.75)10可以表示成1.11×20，0.111×21，0.0111×22等多種形式。當尾數不為0時，尾數域的最高有效位為1，這稱為浮點數的規格化。否則，以修改階碼同時左右移動小數點位置的辦法，使其成為規格化數的形式。

2.1單精度浮點數真值

IEEE754標準中，一個規格化32位的浮點數x的真值表示為：

x=(−1)S×(1.M)×2e
e=E−127
其中尾數域表示的值是1.M。因為規格化的浮點數的尾數域最左位總是1，故這一位不予儲存，而認為隱藏在小數點的左邊。

在計算指數e時，對階碼E的計算採用原始碼的計算方式，因此32位浮點數的8bits的階碼E的取值範圍是0到255。其中當E為全0或者全1時，是IEEE754規定的特殊情況，下文會另外說明。

2.2雙精度浮點數真值

64位的浮點數中符號為1位，階碼域為11位，尾數域為52位，指數偏移值是1023。因此規格化的64位浮點數x的真值是：

x=(−1)S×(1.M)×2e
e=E−1023

3.移碼

移碼（又叫增碼）是對真值補碼的符號位取反，一般用作浮點數的階碼，引入的目的是便於浮點數運算時的對階操作。

對於定點整數，計算機一般採用補碼的來儲存。正整數的符號位為0，反碼和補碼等同於原始碼。

負整數符號位都固定為1，原始碼，反碼和補碼的表示都不相同，由原碼錶示法變成反碼和補碼有如下規則：
（1）原始碼符號位為1不變，整數的每一位二進位制數位求反得反碼；
（2）反碼符號位為1不變，反碼數值位最低位加1得補碼。

比如，以一個位元組8bits來表示-3，那麼[−3]原=10000011，[−3]反=11111100，[−3]補=11111101，那麼-3的移碼就是[−3]移=01111101。

如何將移碼轉換為真值-3呢？先將移碼轉換為補碼，再求值。

4.浮點數的具體表示

4.1十進位制到機器碼

（1）0.5
0.5=(0.1)2，符號位S為0，指數為e=−1，規格化後尾數為1.0。

單精度浮點數尾數域共23位，右側以0補全，尾數域：

M=[00000000000000000000000]2

階碼E:

E=[−1]移−1=[01111111]2−1=[01111110]2

對照單精度浮點數的儲存格式，將符號位S，階碼E和尾數域M存放到指定位置，得0.5的機器碼：

0.5=[00111111000000000000000000000000]2 。

十六進位制表示為0.5=0x3f000000。

（2）1.5
1.5=[1.1]2，符號位為0，指數e=0，規格化後尾數為1.1。

尾數域Ｍ右側以0補全，得尾數域:

M=[10000000000000000000000]2

階碼E：

E=[０]移−1=[10000000]2−1=[01111111]2

得1.5的機器碼：

1.5=[00111111110000000000000000000000]2

十六進位制表示為1.5=0x3fc00000。

（3）-12.5
−12.5=[−1100.1]2，符號位S為1，指數e為3，規格化後尾數為1.1001，

尾數域Ｍ右側以0補全，得尾數域:

M=[10010000000000000000000]2

階碼E：

E=[3]移−1=[10000011]2−1=[10000010]2

即-12.5的機器碼：

−12.5=[11000001010010000000000000000000]2

十六進位制表示為-12.5=0xc1480000。

用如下程式驗證上面的推算，程式碼編譯執行平臺Win32+VC++ 2012：

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    float a=0.5;
    float b=1.5;
    float c=-12.5;

    unsigned int* pa=NULL;
    pa=(unsigned int*)&a;
    unsigned int* pb=NULL;
    pb=(unsigned int*)&b;
    unsigned int* pc=NULL;
    pc=(unsigned int*)&c;

    cout<<hex<<"a=0x"<<*pa<<endl;
    cout<<hex<<"b=0x"<<*pb<<endl;
    cout<<hex<<"c=0x"<<*pc<<endl;

    return 0;
}

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輸出結果：

驗證正確。

4.2機器碼到十進位制

（1）若浮點數x的IEEE754標準儲存格式為0x41360000，那麼其浮點數的十進位制數值的推演過程如下：

0x41360000=[01000001001101100000000000000000]

根據該浮點數的機器碼得到符號位S=0，指數e=階碼-127=1000 0010-127=130-127=3。

注意，根據階碼求指數時，可以像上面直接通過 “階碼-127”求得指數e，也可以將階碼+1=移碼，再通過移碼求其真值便是指數e。比如上面階碼10000010+1=10000011[移碼]=>00000011[補]=3（指數e）。

包括尾數域最左邊的隱藏位1，那麼尾數1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011。

於是有：

x=(−1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10

通過程式碼同樣可以驗證上面的推算：

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    unsigned int hex=0x41360000;
    float* fp=(float*)&hex;
    cout<<"x="<<*fp<<endl;
    return 0;
}

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輸出結果：

驗證正確。

5.浮點數的幾種特殊情況

（1）0的表示
對於階碼為0或255的情況，IEEE754標準有特別的規定：
如果 階碼E=0並且尾數M是0，則這個數的真值為±0（正負號和數符位有關）。

因此+0的機器碼為：0 00000000 000 0000 0000 0000 0000。
-0的機器碼為：1 00000000 000 0000 0000 0000 0000。

需要注意一點，浮點數不能精確表示0，而是以很小的數來近似表示0。因為浮點數的真值等於（以32bits單精度浮點數為例）：

x=(−1)S×(1.M)×2e
e=E−127
那麼+0的機器碼對應的真值為1.0×2−127。同理，-0機器碼真值為−1.0×2−127。

（2）+∞和−∞的表示
如果階碼E=255 並且尾數M全是0，則這個數的真值為±∞（同樣和符號位有關）。因此+∞的機器碼為：0 11111111 000 0000 0000 0000 0000。-∞的機器嗎為：1 11111111 000 0000 0000 0000 0000。

（3）NaN（Not a Number）
如果 E = 255 並且 M 不是0，則這不是一個數（NaN）。

6.浮點數的精度和數值範圍

6.1浮點數的數值範圍

根據上面的探討，浮點數可以表示-∞到+∞，這只是一種特殊情況，顯然不是我們想要的數值範圍。

以32位單精度浮點數為例，階碼E由8位表示，取值範圍為0-255，去除0和255這兩種特殊情況，那麼指數e的取值範圍就是1-127=-126到254-127=127。

（1）最大正數
因此單精度浮點數最大正數值的符號位S=0，階碼E=254，指數e=254-127=127，尾數M=111 1111 1111 1111 1111 1111，其機器碼為：0 11111110 111 1111 1111 1111 1111 1111。

那麼最大正數值:

PosMax=(−1)S×1.M×2e=+(1.11111111111111111111111)×2127≈3.402823e+38
這是一個很大的數。

（2）最小正數
最小正數符號位S=0，階碼E=1，指數e=1-127=-126，尾數M=0，其機器碼為0 00000001 000 0000 0000 0000 0000 0000。

那麼最小正數為：

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