HDU 1756 Cupid's Arrow

Problem Description

傳說世上有一支丘位元的箭，凡是被這支箭射到的人，就會深深的愛上射箭的人。
世上無數人都曾經夢想得到這支箭。Lele當然也不例外。不過他想，在得到這支箭前，他總得先學會射箭。
日子一天天地過，Lele的箭術也越來越強，漸漸得，他不再滿足於去射那圓形的靶子，他開始設計各種各樣多邊形的靶子。
不過，這樣又出現了新的問題，由於長時間地練習射箭，Lele的視力已經高度近視，他現在甚至無法判斷他的箭射到了靶子沒有。所以他現在只能求助於聰明的Acmers，你能幫幫他嘛？

Input

本題目包含多組測試，請處理到檔案結束。
在每組測試的第一行，包含一個正整數N(2<N<100),表示靶子的頂點數。
接著N行按順時針方向給出這N個頂點的x和y座標(0<x,y<1000)。
然後有一個正整數M，表示Lele射的箭的數目。
接下來M行分別給出Lele射的這些箭的X,Y座標(0<X,Y<1000)。

Output

對於每枝箭，如果Lele射中了靶子，就在一行裡面輸出"Yes",否則輸出"No"。

Sample Input

4

10 10

20 10

20 5

10 5

2

15 8

25 8

Sample Output

Yes

No

【思路分析】

該題也是判斷點是否在多邊形上，這裡介紹射線法，雖然相對於二分法的時間效率較慢，但是射線法適用於任何多邊形的判斷：

射線法就是選取多邊形外一點和所需判斷的點連成一條線，若該直線和多邊形的交點個數為奇數，則該點在多邊形內，否則，該點在多邊形之外。但是要考慮以下幾種情況：

即射線過多邊形的頂點和邊(1、2)，射線過多邊形的頂點(3)，射線過多邊形的頂點且和多邊形的邊共線(4)。

當滿足以下的條件時射線與多邊形的交點的個數num才自加一：(設多邊形的邊為bc，要判斷的點為a)

1、c.y != d.y，即針對上圖中的4。當射線與邊共線時，不計入交點個數(若射線平行邊時則該射線不可能和該邊有交點)；

2、a.y > min(c.y,d.y) && a.y <= max(c.y,d.y)，即針對上圖中的1、2、3。當射線和多邊形的頂點相交時，若頂點為該條邊上y值最小的點時，則不計入交點個數。例如1中的邊x和邊y的y值最小的點和射線相交，則不計入交點個數；2中邊x的頂點不為x邊上y值最小的點，則該點計入交點個數，邊y同理，邊z同理；3中的邊x計入，y不計入。

3、射線與該邊有交點。

程式碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define EPS 1e-8
struct Point
{
    double x;
    double y;
}p[maxn];
double Max(double a,double b)
{
    return a > b ? a : b;
}
double Min(double a,double b)
{
    return a < b ? a : b;
}
double Abs(double a)
{
    return a > 0 ? a : (- a);
}
double cross(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    return x1 * y2 - y1 * x2;
}
bool isOnline(Point a,Point b,Point c)
{
    if(Abs(cross(a.x - b.x,a.y - b.y,c.x - a.x,c.y - a.y)) < EPS)
    { //判斷a是否在直線bc上，即判斷向量ab,ca是否共線
        if(a.x >= Min(b.x,c.x) && a.x <= Max(b.x,c.x) && a.y >= Min(b.y,c.y) && a.y <= Max(b.y,c.y))
        {//判斷a點是否線上段bc上

            return true;
        }

    }
    return false;

}
int main()
{
    int n,m,num,flag;
    Point a,b,c,d;
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
        }
        scanf("%d",&m);
        while(m--)
        {
            flag = num = 0;
            scanf("%lf%lf",&a.x,&a.y);
            b.x = -100;
            b.y = a.y;//ab即為穿過多邊形的射線

            for(int i = 0;i < n;i++)
            {
                c.x = p[i].x;
                c.y = p[i].y;
                d.x = p[(i + 1) % n].x;
                d.y = p[(i + 1) % n].y;
                if(isOnline(a,c,d) == true)//判斷a是否在cd邊上
                {
                    flag = 1;
                    break;
                }
                if(c.y != d.y)//要求射線不與cd共線(若平行也不符合條件)
                {
                    if(a.y > Min(c.y,d.y) && a.y <= Max(c.y,d.y))//射線不過多邊形的“凹頂點”
                    {
                        if(cross(d.x - a.x,d.y - a.y,c.x - a.x,c.y - a.y)
                        * cross(d.x - b.x,d.y - b.y,c.x - b.x,c.y - b.y) < EPS)//判斷ab和cd是否相交
                        {
                            num++;
                        }
                    }
                }
            }
            if(flag == 1)
                printf("Yes\n");
            else
            {
                if(num & 1 == 1)//num為奇數個時
                    printf("Yes\n");
                else
                    printf("No\n");
            }
        }

    }
    return 0;
}