今天又複習了一下尤拉篩法，在這做個筆記。

尤拉篩（線性篩）

一般情況下，有一種篩法叫埃什麼什麼的。是O(nloglogn)，非常接近於O(n)，但也會有坑爹的出題人來個10000000故意卡你。

原理

這可能原理有點妙啊。

• 設pr[i]為i最小質因子，然後從2開始計算
• 如果pr[i]沒有在前面得到，就說明i是質數，所以pr[i]=i,prime[++len]=i。
• 對於i，列舉每一個不超過pr[i]的質數prime[j]，所以pr[i∗prime[j]]=prime[j]

這樣可以發現，每一個數只會被它最小的質因子篩去，所以保證了演算法為O(n)的。

我們見一下程式碼：

程式碼

void
 
 find_prime(int n)
{
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    sp = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++sp] = i;
            isprime[i] = i;
        }
        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {
            isprime[i*prime[j]] = prime[j];
            if
 
(prime[j] >= isprime[i]) break;//用isprime[i]來表示i的最小質因子,可能用mod比較慢 
        }
    }
}

在break那一行，有的人會用
　　　　　　if(i % prime[j]==0) break;
不過也可以通過isprime[i]儲存i最小的質因子來與prime[j]做比較。
但不管怎麼寫，我人認為最重要的就是含break的那個語句

尤拉函式

不過，僅僅篩素數就顯得線性篩不是那麼必要。
線性篩最科學的戰場——求積性函式
作為蒟蒻，我以尤拉函式來舉例：

程式碼

先粗淺地看一下程式碼

void find_prime(int
 
 n)
{
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    sp = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++sp] = i;
            isprime[i] = i;
            phi[i] = i-1;//①
        }
        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {
            isprime[i*prime[j]] = prime[j];
            if(prime[j] >= isprime[i]) {
                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];//②
                break;
            }
            phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);//③
        }
    }
}

原理

1. 每個數字只會被篩到一次
2. 當正整數p為素數時，phi[p]=p−1
3. 尤拉函式既然是積性函式，就說明當a與b互質時，滿足phi(a∗b)=phi(a)∗phi(b)
4. 當p為素數時， phi(pk)=(p−1)∗pk−1
5. 我們保證了每次的prime[j]小於等於i的最小質因子，所以當prime[j]<isprime[i]時，phi[i∗prime[i]]=phi[i]∗phi[j]=phi[i]∗(j−1)，而在i%prime[j]==0時，直接乘上prim[j]。

上述的五點：1表明每個數值被算一次。2解釋了①。3、4、5解釋了②和③。

結