題目

首先我們先把題目分析一下。

emmmm，這應該是一個找規律，應該可以打表，然後我們再分析一下圖片，發現如果這個點可以被看到，那它的橫座標和縱座標應該互質，而互質的條件就是它的橫座標和縱座標的最大公約數為一，那這題的意思就變成了，在一個n * n的方格內尋找所有點的橫座標和縱座標互質的點的個數。

但是這樣複雜度肯定是過不去的。打表時間花費也是很多的，所以我們需要找到加快速度的方法，就是用尤拉函式來加快速度，所以我們就要實現大的優化，我們先明確尤拉函式是個什麼東西.

尤拉函式

\(φ（x）\)表示在\(1\)到\(x - 1\)中所有與x互質的數的個數。這個函式一般就叫做尤拉函式。這個函式還具有一些性質.

1. 如果\(x\)是質數，那\(φ（x）=x-1\)。（質數的性質就是這樣）

2. 若\(m\)與\(n\)互質，那\(φ（n * m）= φ（n）* φ（m）\).（可以根據乘法原理推出）

3. 當\(x\)是質數時，那\(φ （x^k）=（x-1）×x^{k-1}\)

所以我們可以通過觀察和推算髮現，如果想求出結果，那就是對於圖的每個橫座標，都記錄他的尤拉函式的值，然後加起來就是最終結果。然後把結果乘2，因為縱座標也需要進行一波這樣的操作。最後再加上一（因為2,2這個點也算）

那到底應該怎麼篩使得尤拉函式能夠很快的算出來呢。

線性篩和尤拉篩

這裡我們就要引進兩個演算法——線性篩和尤拉篩。

線性篩是指以線性的時間篩素數，尤拉篩是以線性的時間求出尤拉函式。

而且他們之間有著異曲同工之妙。

線性篩

程式碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define "maxn" "100010" 
int prime[maxn];//表示第幾個質數。
bool vis[maxn] = {1, 1};//判斷是否為質數，如果是則為0
int main()
{
    int tot = 0;
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++tot] = i;
        for(int j = 0; j < tot; j++)
        {
            if(prime[j] * i >= n || i % prime[j] == 0)
                break;
            vis[i * prime[j]] = 1;
        }
    }
}
 

我們分析上面的程式碼，唯一可能難理解的地方就是\(break\)的那個判斷了。這也是尤拉篩的精髓所在，如果已經超出了範圍需要退出，這個自不必多說，但是，如果\(i\%prime[j]==0\)時，為啥就要退出呢

原理：

首先我們需要明白一些性質：

1. 我們篩素數時應該從小到大篩，方便後面優化時間，所以原始碼迴圈中i。

2. 任何一個合數都可以表示為幾個質數的乘積。所以我們想要線上性時間內篩素數的話，每個合數應該都只被它的最小質因子篩去。

3. 當\(i\%prime[j]==0\)時，則\(i\)為\(prime[j]\)的倍數，設\(i\)為\(prime[j]*n\),如果繼續向下篩的話，下一個要篩的數是\(i*prime[j+1]=prime[j]*n*prime[j]\);因為此時要篩的數即\(i*prime[j+1]\)一定就已經被\(prime[j]\)篩去了，因為根據性質1，\(prime[j]\)要比\(i\)小（因為是早篩到的）。

   因此時間複雜度是線性的。

尤拉篩

尤拉篩其實跟線性篩差不了多少。
首先我們應該熟記尤拉函式的性質。並且這種篩法還可以進行線性求積性函式。

原理

1. 我們看線性篩的第二個性質，尤拉函式是不是也滿足，因此防止多餘的運算

程式碼

    memset(isprime, 1, sizeof(isprime));
    isprime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= listsize; i++)
    {
        if (isprime[i])
        {
             prime[++primesize]  =i;
             phi[i] = i - 1;//性質1
        }
        for (int j = 1; j <= primesize && i * prime[j] <= listsize; j++)
        {
            isprime[i * prime[j]] = false;
            if (i % prime[j] == 0)//說明他們之間不互質，且i是prime[j]的倍數，就可以用性質3.
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1)//即phi[j];因為他們互質，所以可用性質1,2
        }
    }