一、尤拉函式

尤拉函式是小於x的整數中與x互質的數的個數，一般用φ(x)表示。

 

• 比如x=12，拆成質因數為12=2*2*3，
• 12以內有1/2的數是2的倍數，那麼有1-1/2的數不是2的倍數（1,3,5,7,9,11），
• 這6個數裡又有1/3的數是3的倍數，
• 只剩下(1 - ¹/₂ - ¹/₃)的數既不是2的倍數，也不是3的倍數（1,5,7,11）。
• 這樣剩下的12*(1 - ¹/₂ - ¹/₃)=4，即4個數與12互質，所以φ(12)=4。

證明：對於正整數x，

• 如果x=1，則 φ(1) = 1。
  • 1與任何數（包括自身）都構成互質關係。

• 如果x是質數，則 φ(x)=x-1 。
• 質數與小於它的每一個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。

• 如果n只有一個質因數p，即x = p^k(p為質數，k>=1)，則φ(p^k)=p^k(1-1/p)=p^k-p^k-1 。
• 從1~x中，p的倍數共有x/p個，共佔了1/p，則減去這些數後，還剩下x*（1-1/p）個。
• 可以看出，上一種情況是 k=1 時的特例。

• 如果n可以分解成兩個互質的整數之積，即n = p₁ * p_2，則φ(x) = φ(p₁ * p₂) = φ(p₁) * φ(p₂)。
• 積性函式：若當m與n互質時，f(m∗n)=f(m)∗f(n) f(m*n)=f(m)*f(n)f(m∗n)=f(m)∗f(n)，那麼f是積性函式。
• 尤拉函式是積性函式（證明略）。

• 任意一個大於1的正整數，都可以寫成一系列質數的積。
• 可以得到，φ(x) = φ(p₁)*φ(p₂)*...*φ(p_n) = x(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*...*(1-1/p_n).

一些（目前不需要的）性質：

• 當n>2時，φ(n)是偶數。
• 小於n的數中，與n互質的數的總和為：φ(n) * n / 2 (n>1)。
• n的因數（包括1和它自己）的尤拉函式之和等於n。
• 若n為奇數時，φ(2n)=φ(n)。
• 對於任何兩個互質的正整數a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恆等於)此公式即 尤拉定理。
• 當n=p 且 a與素數p互質(即:gcd(a,p)=1)則上式有: a^(p-1)=1 mod n (恆等於)此公式即 費馬小定理。

求尤拉函式：

1.埃拉託斯特尼篩

求1~n所有數的尤拉函式：每次找到一個質數，就把它的倍數更新掉。複雜度大概是O(nlognlogn)。

void euler(int n){
    for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (phi[i]==i)for (int j=i;j<=n;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);

2.尤拉篩

每次找到一個最小的因數（一定為質因數），求出x*（1 - 1/p）。複雜度為O(n)。

int euler(int n){
     int res=n,a=n;    
     for(int i=2;i*i<=a;i++){
         if(a%i==0){    
             res=res/i*(i-1);
             while(a%i==0) a/=i;    
         }    
　　　}
     if(a>1) res=res/a*(a-1);    
     return res;
}

對於x = p₁^k * p₂^m...，只需要求一次（1-p₁）（1-p2）...就可以了，

為了保證每個質因數只被使用一次，通過以上的while迴圈把x中的p₁除盡。

二、素數篩法

好睏（我覺得這個寫的挺好）

參考文章：

https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324

https://blog.csdn.net/paxhujing/article/details/51353672