從某頂點出發，沿圖的邊到達另一頂點所經過的路徑中，各邊上權值之和最小的一條路徑叫做最短路徑。解決最短路的問題有以下演算法，Dijkstra演算法，Bellman-Ford演算法，Floyd演算法和SPFA演算法等。

最短路徑問題是圖論研究中的一個經典演算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。演算法具體的形式包括：

（1）確定起點的最短路徑問題- 即已知起始結點，求最短路徑的問題。適合使用Dijkstra演算法。

（4）全域性最短路徑問題- 求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall演算法。

Dijkstra演算法

又稱迪傑斯特拉演算法，是一個經典的最短路徑演算法，主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止，使用了廣度優先搜尋解決賦權有向圖的單源最短路徑問題，演算法最終得到一個最短路徑樹

例項：

抽象步驟：

1.將起點A放入集合中，A點的權值為0,因為A->A=0。

2.與起點A相連的所有點的權值設定為A->點的距離，連線不到的設定為無窮。並且找出其中最小權值的B放入集合中（此時A->B必定為最小距離）。

3.與B點相連的所有點的權值設定為B->點的距離，並且找出其中最小權值的C點放入集合中（此時C的權值必定為其最小距離）。

4.重複步驟3，直至所有點加入集合中。便能得到所有點與A點的最短距離。

Floyd演算法

全稱Floyd-Warshall演算法，又稱佛洛依德演算法，是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，但是時間複雜度比迪傑斯特拉要高，時間複雜度為O(N^3)，空間複雜度為O(N^2)。

簡單案例：

演算法的思路：

     通過Floyd計算圖G=(V,E)中各個頂點的最短路徑時，需要引入兩個矩陣，矩陣D中的元素a[i][j]表示頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。矩陣P中的元素b[i][j]，表示頂點i到頂點j經過了b[i][j]記錄的值所表示的頂點。

      假設圖G中頂點個數為N，則需要對矩陣D和矩陣P進行N次更新。初始時，矩陣D中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞，矩陣P的值為頂點b[i][j]的j的值。接下來開始，對矩陣D進行N次更新。

第1次更新時，如果”a[i][j]

我們先初始化兩個矩陣：

第一步：以v1為中階，更新兩個矩陣

第二步：以v2為中階，更新兩個矩陣

第三步：以v3為中階，更新兩個矩陣

第四步：以v4為中階，更新兩個矩陣

第五步：以v5為中階，更新兩個矩陣

第六步：以v6為中階，更新兩個矩陣

第七步：以v7為中階，更新兩個矩陣

各個頂點的最短路徑

對近鄰圖的構建通常有兩種做法，一種是指定近鄰點個數，例如歐氏距離最近的k 個點為近鄰點，這樣得到的近鄰圖稱為k近鄰圖;另一種是指定距離閥值ε，距離小於ε的點被認為是近鄰點，這樣得到的近鄰圖稱為ε近鄰圖.兩種方式均有不足，例如若近鄰範圍指定得較大，則距離很遠的點可能被誤認為近鄰，這樣就出現"短路"問題;近鄰範圍指定得較小，則圈中有些區域可能與其他區域不存在連線，這樣就出現"斷路"問題.短路與斷路都會給後續的最短路徑計算造成誤導.

Floyd演算法計算測地距離（matlab實現）

內容借鑑了他人文章，具體出處已經忘了。好久前自己在matlab上實現的，今天總結寫一下。

這是最短路徑Floyd的主程式（借用他人的）：

function [dist,mypath,o]=myfloyd(a,sb,db);
% 輸入：a—鄰接矩陣(aij)是指i 到j 之間的距離，可以是有向的
% sb—起點的標號；db—終點的標號
% 輸出：dist—最短路的距離；% mypath—最短路的路徑
n=size(a,1); path=zeros(n);
for i=1:n
for j=1:n
if a(i,j)~=inf
path(i,j)=j; %j 是i 的後續點
end
end
end
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end
end
end
end
dist=a(sb,db);
o=a;
mypath=sb; t=sb;
while t~=db
temp=path(t,db);
mypath=[mypath,temp];
t=temp;
end
return

這是Floyd例子的實現程式，呼叫主程式完成的（自己寫的）：

clc
clear
a=[0	12 inf	inf	inf	16	14
12	0	10	inf	inf	7	inf
inf	10	0	3	5	6	inf
inf	inf	3	0	4	inf	inf
inf	inf	5	4	0	2	8
16	7	6	inf	2	0	9
14	inf	inf inf	8	9	0];

[n,m]=size(a);
for i=1:n
    for j=i:n
        [dist,mypath,o]=myfloyd(a,i,j);
        if i~=j
        c=num2str(mypath);
        fprintf('v%dv%d,dist=%d，path=%s\n', i,j, dist,c)
        end
    end
end

在瑞士捲上畫出測地距離（自己寫的）：

clc;
clear all;
close all;
%用mds對瑞士捲降維

%瑞士捲的生成圖
N=1000;
t=(3*pi/2)*(1+2*rand(1,N));
s=21*rand(1,N);
X=[t.*cos(t);s;t.*sin(t)];
plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'.')
%計算距離矩陣個
X=X';
[m,n]=size(X);
D=zeros(m,m);
for i=1:m
    for j=i:m
        D(i,j)=norm(X(i,:)-X(j,:));
        D(j,i)=D(i,j);
    end
end
%計算矩陣中每行前k個值的位置並賦值（先按大小排列）
W1=zeros(m,m);
k=8;
for i=1:m
A=D(i,:);
t=sort(A(:));%對每行進行排序後構成一個從小到大有序的列向量
[row,col]=find(A<=t(k),k);%找出每行前K個最小數的位置
for j=1:k
c=col(1,j);
 W1(i,c)=D(i,c); %W1(i,c)=1;%給k近鄰賦值為距離
end
end
for i=1:m
    for j=1:m
        if W1(i,j)==0&i~=j
            W1(i,j)=inf;
        end
    end
end
%計算測地距離，o是每個點到其他點的測地距離矩陣
[dist,mypath,o]=myfloyd(W1,50,400);
dist
mypath

[col,rol]=size(mypath)
X1=[];
for i=1:rol
    ding=mypath(1,i);
    X1=[X1;X(ding,:)];
end
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3),'.')
hold on
plot3(X1(:,1),X1(:,2),X1(:,3),'o-r')