Given n points on a 2D plane, find the maximum number of points that lie on the same straight line.

給定二維平面上的n個點，找出位於同一直線上的最大點數。

雜湊表法

複雜度

O(N^2) 時間 O(N) 空間， N為點數

思路

應知應會：

1. 平面裡確定一條直線要兩個資料，可以是兩個不同的點(高中數學做法)，也可以是一個點加一個斜率(這道題做法)

2. 斜率k = (y2 - y1)/(x2 - x1)，當 x1 == x2 時，分母為0，斜率為無窮，表示和y軸平行的直線們

3. 在計算機裡使用double表示斜率，是不嚴謹的也是不正確的，double有精度誤差，double是有限的，斜率是無限的，無法使用有限的double表示無限的斜率，不過此題的test case沒有涉及這個問題

4. 表示斜率最靠譜的方式是用最簡分數，即分子分母都無法再約分了。分子分母同時除以他們的最大公約數gcd即可得到最簡分數

5. gcd(a,b)，一般求的是兩個正整數的gcd。這道題a和b有可能是0，分別表示與x軸或y軸平行的斜率(注意ab不能同時為0,表示同一個點沒有意義)，所以這道題我們規定ab取值範圍：a>=0,b>=0。至於負數，先變成正數取gcd，再確定最終斜率的正負

6. gcd ( a , b ) = (b == 0) ? a : gcd ( b , a % b ), a,b是任意非負整數且a,b至少有一個不為0

7. 觀察gcd(a,b)，假設a,b為非負整數：

   1. a和b中有一個為零，那麼gcd為另一個不為0的數；

   2. a和b都為0，gcd為0；

演算法：

沒什麼演算法就是窮舉：
對每個點，都計算一下該點和其他點連線的斜率，這樣對於這個點來說，相同斜率的直線有多少條，就意味著有多少個點在同一條直線上，因為這些直線是相同的。另外，如果計算過點A和點B的直線，當算到點B時，就不用再和A連線了，因為AB這條直線上的點數已經都計算過了。這裡，我們用雜湊表，以斜率為key，記錄有多少重複直線。

注意

• 求gcd的utility:

public int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a % b);
}

• 兩層迴圈外層 i 從 0 到 n, 內層 j 從 i+1 到 n

• 如果想要自定義Slope(斜率)類作為HashMap的Key的話要重寫hashCode()和equals()函式， 偷懶的話可以把斜率的分數表示成String作為Key，這樣就省了一些事

• hashmap的value的含義應定義為：過cur點以key為斜率的直線有幾個除了cur以外的點。在算完 過cur的所有直線後，統計cur點的總個數howManyCur，加到當前點最多的直線上，即可得到含cur點的最大直線上的點數。

• 程式碼：

• import java.util.*;
  /**
   * Definition for a point.
   * class Point {
   *     int x;
   *     int y;
   *     Point() { x = 0; y = 0; }
   *     Point(int a, int b) { x = a; y = b; }
   * }
   */
  public class Solution {
      public int maxPoints(Point[] points) {
          if (points.length <= 1)
              return points.length;
          int maxUniv = Integer.MIN_VALUE;
          for (int i = 0; i < points.length; i++) {
              Point cur = points[i];
              HashMap<String, Integer> map = new HashMap<String, Integer>();
              int howManyCur = 1, maxLocal = 0;
              for (int j = i + 1; j < points.length; j++) {   //這裡可以從i+1開始，之前的都算過了
                      Point iter = points[j];
                      if (iter.x == cur.x && iter.y == cur.y) {//同一頂點
                          howManyCur += 1;
                      } 
                      else {          //不同頂點
                          String key = getSlopeInString(cur, iter);
                          //map裡存(過cur點,斜率key)代表的直線有多少除了cur的點
                          map.put(key, map.containsKey(key) ? map.get(key) + 1 : 1);
                          maxLocal = Math.max(maxLocal, map.get(key));
                      }
              }
              maxLocal = howManyCur + maxLocal;
              maxUniv = Math.max(maxLocal, maxUniv);
          }
          return maxUniv;
      }
      public String getSlopeInString(Point cur, Point iter) {
          int numerator = iter.y - cur.y;
          int denominator = iter.x - cur.x;
          String sign = getSign(numerator, denominator);
          int gcd = gcd(Math.abs(numerator), Math.abs(denominator));//0和任意一個非零數'a'的gcd為'a',0和0的gcd為0,所以斜率為無窮的情況分母為0
          return sign + Math.abs(numerator)/gcd + "/" + Math.abs(denominator)/gcd;
      }
      //a和b為非負整數 且 a和b不同時為0
      public int gcd(int a, int b) {
          if (b == 0)
              return a;
          else
              return gcd(b, a % b);
      }
      public String getSign(int a, int b) {
          if (a <= 0 && b <= 0 || a >= 0 && b >= 0)
              return "+";
          else 
              return "-";
      }
  }