隨機變數及概率分佈

一維隨機變數

隨機變數的概念 略

離散型隨機變數

1. 設X為離散型隨機變數，其全部可能值為{a1,a2⋯}則
   

   pi=P(X=ai),i=1,2⋯
   稱為X的概率函式，顯然有：
   pi≥0,p1+p2+⋯=1

2. 設X為以隨機變數，則函式：
   

   P(X≤x0=F(x),−∞<x<∞)
   稱為X的分佈函式

3. 二項分佈
   

   pi=b(i;n,p)=(ni)pi(1−p)n−i,i=0,1,⋯
   記為X∼B(n,p)

4. 泊松分佈
   

   P(X=i)=e−λλi/i!
   記為X∼P(λ). 它多試出現在當X表示在一定時間或空間內出現的事件個數這種場合

   一般來說，若X∼B(n

   ,p)，其中n很大，p很小而np=λ不太大時，則X的分佈接近於泊松分佈

5. 超幾何分佈
   

   P(X=m)=(Mm)(N−Mn−m)/(Nn)
   其中，0≤m≤M及n−m≤N−m
   當n/N很小，則放回與不放放回差別不大，這時候超幾何分佈與二項分佈很像

6. 幾何分佈
   

7. 伯努利分佈（補充）
   

連續隨機變數

1. 設連續隨機變數X有概率分佈函式F(x)，則F(x)的倒數f(x)=F′(x),則成為X的概率密度函式

   解釋：根據定義[F(x+h)−F(x)]/h可以解釋為為在x點附近h這麼長區間內，單位長所佔有的概率，或者說它反映了概率在x點處的“密集程度”。你可以設想一條極細的無窮長的金屬桿，總質量為1，概率密度相當於杆上各點的質量密度

2. 正態分佈
   如果一個隨機變數具有概率密度函式
   

   f(x)=(2π−−√σ)−1e−(x−μ)2/2σ2,−∞<x<∞
   則稱X為正態隨機變數並記為X∼N(μ,σ2). N∼(0,1)為“標準正態分佈”
   
3. 指數分佈
   若隨機變數X有概率密度函式
   x={λe−λx,0,當x>0x≤5
   則稱X服從指數分佈。其中λ>0為引數。
   f(x)在0處是不連續的，常應用在壽命分佈。即瞬時的失效率是常數λ。
   
4. 威布林分佈 略（與指數分佈類似，但是考慮的是衰老）
   
5. 均勻分佈
   

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