①最小路徑覆蓋：

路徑覆蓋和二分圖匹配的關係：

最小路徑覆蓋=|G|-最大匹配數

上述公式中最大匹配數是這樣來的：

對於G中每一個節點x，建立節點x1，x2。若x- >y存在邊，則x1與y2之間連一條無向邊，求這個二分圖的最大匹配數即可。

證明如下：

首先，若最大匹配數為0，則二分圖中無邊，也就是說有向圖G中不存在邊，那麼

顯然：最小路徑覆蓋=|G|-最大匹配數=|G|-0=|G|。

若此時增加一條匹配邊x1--y2，則在有向圖|G|中，x、y在同一條路徑上，最小路徑覆蓋數減少一個。

繼續增加匹配邊，每增加一條，最小路徑覆蓋數減少一個，則公式：最小路徑覆蓋=|G|-最大匹配數得證。

②最小點覆蓋

二分圖中，選取最少的點數，使這些點和所有的邊都有關聯（把所有的邊的覆蓋），叫做最小點覆蓋。

最小點覆蓋數 = 最大匹配數

假如我們已經通過匈牙利演算法求出了最大匹配（假設它等於M），下面給出的方法

可以告訴我們，選哪M個點可以覆蓋所有的邊

    匈牙利演算法需要我們從右邊的某個沒有匹配的點，走出一條使得“一條沒被匹

配、一條已經匹配過，再下一條又沒匹配這樣交替地出現”的路（交錯軌，增廣

路）。但 是，現在我們已經找到了最大匹配，已經不存在這樣的路了。換句話

說，我們能尋找到很多可能的增廣路，但最後都以找不到“終點是還沒有匹配過的

點”而失敗。我們給所有這樣的點打上記號：從右邊的所有沒有匹配過的點出發，

按照增廣路的“交替出現”的要求可以走到的所有點（最後走出的路徑是很多條不完

整的增廣路）。那麼這些點組成了最小覆蓋點集：右邊所有沒有打上記號的點，加

上左邊已經有記號的點  。

看圖，右圖中展示了兩條這樣的路徑，標記了一共6個點（用 “√”表示）。那麼，

用紅色圈起來的三個點就是我們的最小覆蓋點集。

    首先，為什麼這樣得到的點集點的個數恰好有M個呢？答案很簡單，因為每個點

都是某個匹配邊的其中一個端點。如果右邊的哪個點是沒有匹配過的，那麼它早就

當成起點被標記了；如果左邊的哪個點是沒有匹配過的，那就走不到它那裡去

（否則就找到了一條完整的增廣路）。而一個匹配邊又不可能左端點是標記了的，

同時右端點是 沒標記的（不然的話右邊的點就可以經過這條邊到達了）。因此，

最後我們圈起來的點與匹配邊一一對應。

    其次，為什麼這樣得到的點集可以覆蓋所有的邊呢？答案同樣簡單。不可能存在

某一條邊，它的左端點是沒有標記的，而右端點是有標記的。原因如下：如果這條

邊不屬於我們的匹配邊，那麼左端點就可以通過這條邊到達（從而得到標記）；如

果這條邊屬於我們的匹配邊，那麼右端點不可能是一條路徑的起點，於是它的標記

只能是從這條邊的左端點過來的（想想匹配的定義），左端點就應該有標記。

    最後，為什麼這是最小的點覆蓋集呢？這當然是最小的，不可能有比M還小的點

覆蓋集了，因為要覆蓋這M條匹配邊至少就需要M個點（再次回到匹配的定義）。

③最大獨立集=總數-最小覆蓋集證明：

（摘自：http://m.blog.csdn.NET/article/details?id=50011363）

上圖，我們用兩個紅色的點覆蓋了所有邊。我們證明的前提條件是已經達到最小覆蓋。

即條件1.已經覆蓋所有邊，條件2.所用的點數最小

首先我們來證明藍色點組成的是一個獨立集：如果有兩個藍色點間有邊相連，那麼這條

邊則沒有被覆蓋，則與條件1矛盾。因此是獨立集。

再來證明這個獨立集最大： 如果我們要再增加這個獨立集中的點，則需要把某個紅點變

成藍點。而由最小覆蓋數=最大匹配數的證明我們知道，每一個紅點是最大匹配中的一

個匹配點，也就是說每個紅點至少連線了一條邊。因此當我們將某個紅點變成藍點

時，我們需要犧牲的藍點的個數是大於等於1的。也就是說，我們最多隻能找到數量相等

的其他獨立集，而無法找到數量更大的。因此藍色點集必定為最大獨立集。 藍色點數 =

總點數 - 紅色點數，即最大獨立集=總數-最小覆蓋集。

最大獨立集+最小點權覆蓋=總權值。

 又∵最小點權覆蓋=最小割

    ∴最大獨立集=最小割。

下篇文章我會寫bzoj1475，求最大獨立集例題。