本蒟蒻對於二分圖一些定理的理解
本蒟蒻對於二分圖一些定理的理解
先給出一些定理 (常識)
1.對於一個無向圖 G，若 G 中的所有迴路長度均為偶數，則G為一個二分圖。
2.二分圖的最小點覆蓋 = 最大匹配數。
3.二分圖的最大獨立集 = n-最小點覆蓋 = n-最大匹配數。
4.二分圖中最小邊覆蓋 = 最大獨立集
5.最大匹配數 = 左邊匹配點 + 右邊未匹配點。一 二分圖是什麼
二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設 \(G=(V,E)\) 是一個無向圖，如果頂點V可分割為兩個互不相交的子集 \((A,B)\)，並且圖中的每條邊 \(（i，j）\) 所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集 \((i \in A,j \in B)\)
，則稱圖G為一個二分圖。
以上內容摘自百度百科。
翻譯成人話就是一張無向圖，如果能將它的點集分為兩個，且每個點集內部沒有邊相連，只有兩點集間有邊相連，那麼它就是一個二分圖。
二 二分圖的判定
（1）證明
那麼為啥說
1.對於一個無向圖 \(G\)，若G中的所有迴路長度均為偶數，則 \(G\) 為一個二分圖。
我們有如下的證明：（以下內容參照百度百科）
不妨設兩個點集分別為 \(X\) 和 \(Y\)
1.必要性
\(\because\) 點集內部沒有邊
\(\therefore\) 對於 \(G\) 中的一個長度為 \(n\) 的迴路 \(Z=(a_1,a_2,...a_n) (a_n==a_1)\)
又 \(\because Z\) 為迴路，所以其中每個點均連線兩條邊，即邊數等於點數，所以邊數為偶數。
2.充分性
現在我們有一個聯通的無向圖 \(G=(V,E)(V為點集，E為邊集)\) ，且 \(G\) 中任意迴路長度為偶數。那麼我們證明其能分為兩個點集，且點集內部無邊。
我們從 \(V\) 中選出一個點 \(V_0\) ，然後我們設：
\(X=\{v|v==v_0 || dis(v,v_0)\&1==0\}\)
\(Y=V-X\)
顯然 \(X\) 不為空。又 \(\because |V| >= 2\)
我們設邊 \((u,v)\) 的兩點都在 \(X\) 中，那麼 \(dis(u,v_0)==dis(v,v_0)==2*k\) 而 \(dis(u,v)==1\)，所以可以找到一個從 \(v_0\) 到 \(v_0\) 的奇數長度的迴路，與題設矛盾。\(\therefore (u,v)\) 不會都在 \(X\) 中。
同理設邊 \((u,v)\) 的兩點都在 \(Y\) 中，那麼 \(dis(u,v_0)==dis(v,v_0)==2*k+1\) 而 \(dis(u,v)==1\)，所以可以找到一個從 \(v_0\) 到 \(v_0\) 的奇數長度的迴路，與題設矛盾。\(\therefore (u,v)\) 不會都在 \(Y\) 中。
綜上所述，原命題得證。
（2）演算法
通過上面的論證，我們很容易得出一個判定二分圖的演算法（染色法）：
①任選一個點染色
②將所有與她相連的點染為相反的顏色
③若有一個點已經染色且與當前定點顏色相同，則G不為二分圖
三 二分圖的匹配
要提到後面四個定理的話，就必須說一說二分圖的匹配。
（1）定義
對於 \(G\) 中的一個邊的集合 \(M\) ，若M中的所有點均只與一條M中的一條邊相連，則 \(M\) 為 \(G\) 的一個匹配，其中邊數最大的 \(M\) 為二分圖的最大匹配。
說人話：就是選出一些邊，使得任意兩邊沒有公共頂點。
（2）最大匹配
如題，就是匹配數最大的匹配。
<1> 求法
每次從一個未匹配點出發，走一條 非匹配邊，匹配邊...非匹配邊的交錯路，如果走到了一個未匹配點，那麼就找到了一條增廣路，將增廣路上的匹配邊與非匹配邊互換，則匹配數加一。
2.最大流
從S向左邊的點連一條流量為1的邊，左邊的點向右邊連容量為1的邊，右側的點向T連一條1的邊，那麼跑出來的最大流為最大匹配數。
<2> 性質
2.二分圖的最小點覆蓋 = 最大匹配數。
3.二分圖的最大獨立集 = n-最小點覆蓋 = n-最大匹配數。
5.最大匹配數 = 左邊匹配點 + 右邊未匹配點。
四 蒟蒻關於先前定理的理解
以下內容參照這篇文章
開始前先講一下概念：
1.最大匹配：見前方二分圖的匹配。
2.最小點覆蓋：用最少的點，讓圖中每條邊都至少和其中一個點關聯。
3.最大獨立集：從圖中選出一些點，使得其兩兩間無邊的所能選出的最多的點。
4.最小邊覆蓋：用盡量少的不相交簡單路徑覆蓋有向無環圖(DAG)(這裡是二分圖) G 的所有頂點。定理1：
對於一個無向圖 \(G\)，若 \(G\) 中的所有迴路長度均為偶數，則 \(G\) 為一個二分圖。
見前方二分圖的判定。
定理2：
二分圖的最小點覆蓋 = 最大匹配數。