二分圖定理及證明
最小頂點覆蓋
定義：能覆蓋所有的邊的最少頂點數(或是最小點權和)
計算方法：最小頂點覆蓋 = 最大匹配數
最大獨立集
定義：兩兩互不相鄰的點組成的集合的最大點數(或是最大點權和)
計算方法：最大獨立集 = 點總數 - 最小頂點覆蓋
例題：方格取數問題（https://daniu.luogu.org/problemnew/show/2774）
我們以最大點權和(最大獨立集就是點權全為1)為例證明：
一個二分圖集合{X}、{Y}，
[1> 從S向{X}連一條流量為點權的邊。
[2> 從{Y}向T連一條流量為點權的邊。
[3> 把 不能相鄰或同時選的兩點 之間連接一條流量為INF的邊。
那麽答案 = 所有點點權和 - 此二分圖的最小割。
那麽對於任意一個不合法選點，要麽斷掉（S - {X}）這條邊，要麽斷掉（{Y} - T）這條邊。
這不就是最小割嗎，最小割=最大流=最小頂點覆蓋，即得證。
最小路徑覆蓋
定義：能覆蓋所有點的最少路徑數 [不要求為二分圖]
如此圖的最小路徑覆蓋為3。
為1->3->4->6與2與5->7。（註：每個點只能到一次）。
計算方法1：最小路徑覆蓋 = 最大流的最小費用(特殊建圖)
例題：[SDOI2010]星際競速（ https://www.luogu.org/problemnew/show/P2469）
證明1：用最小費用流證明：
把每一個點拆成 i 與 i‘ ，形成一個二分圖，如下連邊：
[2> 從{i‘}向T連接一條 \(cap=1,cost=0\) 的邊。
[3> 如果a-->b在原圖上有邊，那麽a 到 b‘ 連一條 \(cap=1,cost=0\) 的邊。
[4> 從S向{i‘}連一條 \(cap=1,cost=1\) 的邊。
那麽此時，每條S-->i‘的邊就對應選擇了一條路徑，費用為1，等於選擇了一個起點。
最終的最少路徑數為：此圖的最小費用最大流的費用值。
當所求為路徑權值最小時，做法一樣，只需把
[4> 中連邊的邊的cost設為對應的從某點出發代價。
[3> 中連邊的代價設為對應的路徑長度。
計算方法2：最小路徑覆蓋 = 原圖上的點數 - 最大匹配數（特殊建圖）
證明2：用最大流證明：
把每一個點拆成i 與 i‘ ,形成一個二分圖，只連接法一中的[1>、[2>、[3>的邊。
[1> 從S向{i}連接一條 \(cap=1,cost=0\) 的邊。
[2> 從{i‘}向T連接一條 \(cap=1,cost=0\) 的邊。
[3> 如果a-->b在原圖上有邊，那麽a 到 b‘ 連一條 \(cap=1,cost=0\) 的邊。
然後顯然每一個點會優先嘗試由S流通到T，但由於[3>中cap=1的限制，有些點流通不了。
那麽剩下的這些點只能作為起點 。
所以求最大匹配即求最多可流通點數，剩下的點只能作為路徑起點，即為選擇了一條路徑。
即證畢。
最大權閉合子圖
定義：給定一個有向圖，從中選擇一些點組成一個點集V。對於V中任意一個點，其後續節點都仍然在V中。
計算方法：最大權=所有正點和-最小割
例題：太空飛行計劃問題（https://www.luogu.org/problemnew/show/2762）
證明：
一般來說，這類問題都與最佳收益有關。
這裏就以這個為例，假設實驗集合{X}的點選擇會有收益，器材集合{Y}的點選擇會有損失。
但是要選擇Xi則必須選擇{Ya , Yb , ....}一個{Y}的集合。問最大收益？ （同例題）
我們假設{X}中的所有收益都獲取到了。
那麽最終答案為 總收益 - 總損失，現在我們只需要最小化總損失。
我們如下連邊：
[1> 從S向{X}連一條 流量限制 為收益的邊。
[2> 從{Y}向T連一條 流量限制 為損失的邊。
[3> 若選Xi必須要選Yj，那麽由Xi向Yj連一條 流量限制 為INF的邊。
那麽最小損失就是最小割。
我們可以這麽理解：S表示選擇，T表示不選擇。
一個東西不能既選又不選，所以S->X 與 Y->T的其中一條邊是一定要斷掉的。
[A> 如果割掉S->X的邊，則實驗Xi被劃分到了 不選(T) 中去，損失為實驗收益（沒有進行此實驗，無收益）
[B> 如果割掉Y->T的邊，則器材Yi被劃分到了 選擇(S) 中，損失為器材費用（購買了此器材）
所以當割掉最小割時，達到最優的平衡狀態，為最大權閉合子圖的補集。
即證畢。
二分圖定理及證明