• 今天跟人複習了散列表中的平方探測法，發現一個十分有趣的事實

可以發現 對6取餘，是一個迴圈數列，迴圈節是143410.
並且除掉0之後，這串子數列是對稱的
這個結論對於7和17也是成立的

那麼 是不是對於任意的正整數k>2,都是成立的呢？

對於任意的自然數n來說，總可以表示成n=a*k±r,其中a是商，r是餘數
所以

n2=(ak±r)2=a2k2±2ark+r2r∈[0,k2]
所以
n2≡r2(modk)

對於一個k的週期來說

(k為偶數。k為奇數時只是多處理一個數字，原理是一樣的)

我們有
k2+1≡−k2+1(modk)
k2+2≡−(k2−2)(modk)
k2+3≡−(k2−3)(modk)
……
k−1≡−1(modk)
k≡0(modk)

可以看到 餘數是從1，2……，k/2，-k/2+1……-2,-1,0這樣變化的。
又有

自然就會看到這是個對稱的變化了。

那麼，形如
{an|an=nλ,λ∈N+}
這樣的數列呢？
容易得到當λ 是偶數的時候，還是有這樣的性質。
當λ 是奇數的時候
−rλ=(−r)λ
此時就不是對稱的了。

對於平方探測法 F(i)=i2來說
當i>k2 的時候，必定在前面有i0 使得 Hash(x)+i20≡Hash(x)+i2(modk)
這就產生了衝突，這個衝突是必定存在的。

於是，Hash的可選空位必定小於等於k/2.