內部排序（三）堆排序的兩種實現
堆排序是一種選擇排序演算法，堆排序顧名思義要用到堆，首先來回顧下有關資料結構“堆”有哪些特點。
- 堆常用二叉樹來表示，而且如果不是特殊情況的話，通常用一棵完全二叉樹來表示堆。因為完全二叉樹的結點分佈均勻，所以通常可以用陣列來實現堆的儲存。
- 根據堆中任一結點和其他結點的值的關係，堆分成兩種，最大堆和最小堆。最大堆指堆中任一結點的值都大於其子結點的值；最小堆則相反，堆中任一結點的值都小於其子結點的值。
看到堆的特點之後，是不是冥冥之中覺得這種任一結點比其子結點大/小的特性或許可以用來做排序？對的，堆排序是選擇排序的一種，選擇排序大家很容易理解，一種“暴力”的選擇排序方法就是每次掃描一遍整個待排序列，從中找出最大/最小值，然後儲存到一個額外空間中，接著再把待排序列剩下的元素每個掃描一遍，再從中找出最大/最小的元素，這樣一直下去直到把待排序列所有元素“清空”。
但是我們知道每一都掃描一遍整個待排序列來找出最大/最小元素，肯定是不合適的。那麼我們想如何可以加快尋找最大值/最小值這一步驟？
那就是用最大堆或最小堆了！因為最大堆的根結點一定就是存放的最大元素，最小堆的根結點一定就是存放的最小元素。所以就可以利用最大堆/最小堆來快速獲取待排序列中的最值，從而加快排序的速度！這就是堆排序。
那麼如何做堆排序呢？假設我們要對序列做升序排序（降序同理），第一種方法，我們可以把待排序列中元素一個一個拿出來建成一個最大堆，這樣每次從最大堆從彈出一個最大元素，然後按升序方式放回我們的待排序列中，就可以了。這樣真的是可以，實現程式碼如下：
/*主函式*/ int main(int agrc, char const* argv[]) { bool IsFull, IsEmpty; int i, j; ElemType InsertData, DeleteItem, data=0; /*建立一個堆序列,把待排序列一個一個插入到堆中並調整成最大堆*/ PtrlSqList H=CreatList(); /*建立一個待排序列*/ PtrlSqList P=CreatList(); printf("請建立待排序列:"); while (data!=-1) { scanf("%d", &data); if (data!=-1) { Insert_Array(P, data); } } /*獲得待排序列長度*/ P->length=GetListLength(P); /*輸出待排序列*/ printf("\n待排序列為:"); PrintList(P, 0); printf("\n待排序列長度=%d\n", P->length); /*把待排序列元素一個個插入到堆中同時做調整*/ /*for迴圈中i<=P->length+1是為了把-1結束標誌也存進去*/ for (i=1; i<=P->length+1; i++) { Insert(H, P->arr[i]); P->arr[i]=0; j=i; } P->arr[j]=-1; /*結束符*/ printf("\n最大堆H："); PrintList(H, 0); /*獲取最大堆的長度*/ H->length=GetListLength(H); printf("\n最大堆H的長度=%d\n", H->length); printf("\n迴歸過程:\n"); j=P->length; for (i=1; i<=P->length; i++) { P->arr[j]=Delete(H); PrintList(P, 0); printf("\n"); j--; } printf("\n堆排序後序列："); PrintList(P, 0); return 0; }
建立一個空堆H和待排序列P，第55行開始for迴圈把待排序列P中的元素一個一個拿出來插入到堆H中同時每次插入後都調整堆H為最大堆。把待排序列全部插入調整成一個最大堆後，就可以開始從最大堆不斷彈出堆頂元素，按需要的排序方式存放回序列P中：
如何在插入一個元素到堆中後同時把堆調整成最大堆？我們來看程式碼：
/*判斷最大堆是否已滿*/
bool IsFull(PtrlSqList P)
{
return (P->MaxContent==P->NowSize);
}
/*判斷最大堆是否為空*/
bool IsEmpty(PtrlSqList P)
{
return (P->NowSize==0);
}
/*最大堆的插入*/
void Insert(PtrlSqList H, ElemType X)
{
int i;
/*插入前先判斷堆滿不滿*/
if (IsFull(H)) {
printf("最大堆已滿,無法插入.");
return;
}
/*沒有滿就插入*/
i=++H->NowSize; /*因為NowSize記錄的是當前堆中最後一個元素的下標,所以在它後面做插入*/
/*調整插入的位置,如果i位置的父結點比插入的值小,就把父結點移動下來*/
/*i/2是i的父結點,2i是左子樹,2i+1是右子樹*/
for (; H->arr[i/2]<X; i/=2) {
H->arr[i]=H->arr[i/2]; /*把父結點往下移*/
}
/*i的父結點不比要插入的X小了,那麼就插入X到i*/
H->arr[i]=X;
}第162行插入元素前首先判斷堆滿不滿，沒滿就讓i=++H->NowSize。然後開始找插入的位置，第170行從當前堆中最後一個位置的父結點開始，如果父結點的值比要插入的X小，那麼就把父結點下移，讓X到父結點的位置，父結點下移即把堆中父結點H->arr[ i/2 ]的值賦給H->arr[ i]位置的值。然後i\=2，就是從i的父結點繼續往上找，直到找到父結點i比要插入的X大了，X就作為i的子結點插入。
至於在做完插入操作把待排序列建立成一個最大堆後，怎麼把最大堆堆頂元素一個一個彈出來？這樣實現：
/*最大堆的刪除(即彈出一個元素)*/
ElemType Delete(PtrlSqList H)
{
int Head, Max; /*Head是要插入的位置, Max是Head的子結點的下標位置*/
ElemType DeleteItem, Tag;
/*彈出一個元素前,先判斷堆為不為空*/
if (IsEmpty(H)) {
printf("最大堆為空.");
return;
}
/*不為空就彈出元素*/
DeleteItem=H->arr[1]; /*先把要彈出的結點儲存起來,最後返回出去*/
Tag=H->arr[H->NowSize--]; /*儲存彈出一個元素後,堆中最後一個元素(最小元素)的下標*/
/*下面的操作是把彈出一個元素後的堆調整回最大堆*/
/*Head*2是判斷該結點是否有左子樹,Head*2是左子樹,Head*2+1是右子樹*/
/*Head即要插入的位置從1開始,即從第一個頂點(根節點)開始判斷*/
for (Head=1; Head*2<=H->NowSize; Head=Max) {
/*如果有左子樹,就判斷左子樹和右子樹誰更大*/
/*Head*2<=NowSize判斷當前要插入的位置是否有左子樹,如果左子樹==NowSize,則沒右子樹*/
Max=Head*2; /*一開始先讓Max的值是左子樹的位置下標,即指向左子樹*/
/*如果左子樹結點小於右子樹結點*/
if ((H->arr[Max]<H->arr[Max+1]) && (Max!=H->NowSize)) {
/*Max!=H->NowSize,證明有右子樹*/
/*就把Max指向更大的右子樹的位置*/
Max++;
}
/*一輪迴圈找到當前要插入的位置的左右子樹的更大的那個位置Max後*/
/*比較我當前要插入的元素Tag是否比左右子樹大,是就直接插入*/
if (Tag>=H->arr[Max]) {
break;
} else {
/*否則就把更大的那個值提上來,調成最大堆的規律*/
/*而我Tag要插入的位置下移,下移操作是for迴圈的最後Head=Max*/
/*Head=Max即把Head的子樹位置給了自己,讓自己下移了*/
H->arr[Head]=H->arr[Max];
}
}
/*for迴圈做完後,即找到正確的插入位置,就插入Tag元素*/
H->arr[Head]=Tag;
return DeleteItem;
}一樣彈出元素前先判斷堆空不空，不空就把堆頂元素H->arr[ 1 ]賦值給DeleteItem變數儲存，最後返回出去。關鍵是彈出一個元素後，怎麼把堆調整回最大堆。
第181行定義了兩個變數Head和Max，Head是用來儲存查詢插入位置的，因為堆中彈出一個元素後，堆得大小就要-1，而堆的資料結構中NowSize是用來儲存堆中當前的容量，值就是堆中最後一個元素的位置的下標，所以再彈出了一個元素後，第191行我們把堆中最後一個元素的值賦給Tag’變數暫時保持，NowSize--，然後為這個Tag元素找插入的位置，同時調整堆。
首先讓Head=1就是從堆頂位置開始，如果Head*2<=H->NowSize，意思是判斷該結點有沒有左結點且有沒有超出堆的大小，如果沒有，就證明有左結點且有右結點（Head*2<=H->NowSize，小於NowSize很重要，因為左結點的位置下標是2i，右結點的位置下標是2i+1，所以如果左結點的下標沒有超出NowSize，就證明有右結點）。
然後第199行先讓Max指向左結點的位置，判斷如果左結點小於右結點，就讓Max指向右結點。這一步的做法是找出當前插入位置的子結點更大的結點，如果要插入的元素Tag比當前要插入的位置的子結點都大，如果是，就證明插入位置找到了，break停止迴圈，第220把Tag賦值給H->arr[ Head ]。如果Tag比插入位置Head的子結點要小，那麼就把子結點Max的位置賦值給Head，即往下尋找插入位置。
上面這種堆排序的做法，其實也不適合，因為我們看排序部分的程式碼，我們需要一個額外的空間堆H來存待排序列的元素，把待排序列建立成一個最大堆。最後還有把排好序後的最大堆中元素一個一個複製回去原序列中，尤其是最後的複製迴歸過程，當資料量很大時，這個資料複製時間就可能要很久，而且需要的額外空間堆H也可能很大。
為了去掉額外空間和重新複製元素回原序列，可以用第二種更好的方法，就是直接對待排序列動手。方法是，首先我們直接把整個待排序列調整成最大堆形式，這時堆頂元素就是最大值，因為我們要把待排序列排成升序，升序序列中最大的元素是排在最後的（可按需要改動程式碼實現其他規律的排序），所以，我們把堆頂元素和堆中最後一個元素例如N做交換，接著把最後一個元素之前的堆調整回一個最大堆。然後對N-1的堆中元素繼續把最大堆中第一個元素和最後一個元素，此時是N-1交換，這樣序列中第二大的元素就去到了序列的倒數第二個位置了。
一直做下去，把堆調整回最大堆，然後把第一個元素和N-2的位置的元素交換，直到所有元素排完序，最後直接逐個彈出堆中所有元素回原序列P中即可，我們來看看程式碼，看看它是怎麼回事：
/*堆排序*/
void Heap_Sort(PtrlSqList P)
{
int i=0;
/*從最後一個結點的父結點開始往上調整*/
for (i=P->length/2; i>0; i--) {
/*把待排序列中的元素調整成最大堆*/
AdjustMaxHeap(P, i, P->length);
}
/*調整成最大堆後的序列*/
printf("調整成最大堆後的序列為:");
PrintList(P, 0);
printf("\n\n"); /*為了美觀的換行*/
/*開始堆排序*/
for (i=P->length; i>0; i--) {
//printf("此時i=%d\n", i);
Swap(&P->arr[1], &P->arr[i]);
/*一趟堆排序後,把待排序列繼續調整回最大堆,做下一趟堆排序*/
AdjustMaxHeap(P, 1, i-1);
PrintList(P, (P->length-i+1));
printf("\n");
}
}第144行把待排序列調整成最大堆，然後第156行for迴圈，從堆中最後一個元素的位置開始，即P->length,每次Swap函式是把堆中第一個元素和“最後一個”元素交換，交換完後，即最大元素落到最後一位了，就把之前的元素調整回最大堆。
Swap函式是使用者自定函式，目的是實現兩位置元素交換，比較簡單且方法很多，這裡就不展示了。
至於調整堆為最大堆函式AdjustMaxHead，我們來看怎麼做：
/*調整堆的有序性,調整為最大堆*/
void AdjustMaxHeap(PtrlSqList P, ElemType i, int length)
{
int Head, Max; /*作用和最大堆刪除函式中一樣*/
ElemType Tmp; /*臨時儲存那個要調整位置的元素*/
Tmp=P->arr[i]; /*把要調整位置的元素賦給一個臨時變數*/
for (Head=i; Head*2<=length; Head=Max) {
Max=Head*2;
if (Max!=length && P->arr[Max]<P->arr[Max+1]) {
Max++;
}
if (Tmp>P->arr[Max]) {
break;
} else {
P->arr[Head]=P->arr[Max];
}
}
P->arr[Head]=Tmp;
}方法和上面最大堆彈出一個元素調整位置一樣，只是傳入引數不同，最大堆的調整，因為我們每次排序都把最大元素放到最後的位置，交換了位置之後，堆中1的位置元素是當前待排序列最後一個元素，所以引數i是1，length是每次要調整的元素的個數。方法一模一樣，從位置1開始，如果左右結點比Tmp大，就把要插入的位置Head下移（否則直接插入），直到找到比位置Head的子結點大後，在位置Head處插入。
方法2就不需要額外的空間來暫存資料，也就省掉了把排好序的資料複製回原序列中的這費時間一步。
完整實現程式碼在個人程式碼雲：