動態規劃是一種非常重要的演算法設計思想。歷史上有很多著名的演算法都是基於這種思想設計而來的，例如：Needleman–Wunsch演算法、CYK演算法、FFT演算法、維特比演算法等等。動態規劃的核心思想有兩個：首先是將一個大問題拆解為若干子問題；其次是將曾經計算過的結果儲存起來以備多次使用。

在本系列之前的文章中，我們已經介紹了動態規劃演算法設計的一種基本套路。但現實中的動態規劃問題其實是五花八門的。之前的動規例子的解答都使用了遞迴，本文所補充的兩個例子則採用迴圈。

首先是LeetCode中的#718題（Maximum Length of Repeated Subarray）。該問題的描述如下：

動態規劃的一個核心思想是把之前已經得到的計算結果儲存起來，以備複用。這其實基本上就是在用空間換時間。就本題而言，為了儲存已經算過的結果，我們設計一個矩陣，並將其中的所有元素初始化為0。如果陣列A中的元素A[i]與陣列B中的元素B[j]相同，那麼就更新矩陣中的一個元素[i,j]為1+[i-1,j-1]，1表示當前這個字元匹配，而[i-1,j-1]

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {

    	int m = A.size();
    	int n = B.size();

    	int ** matrix = new int*[m+1];
        
        for(int i = 0; i < m+1; i++)
        {
            matrix[i] = new int[n+1];
            for(int j = 0; j < n+1; j++)
            {
                	matrix[i][j] = 0;
            } 
        }
        
        int max = 0;

        for(int i = 1; i < m+1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n+1; j++)
            {
            	if(A[i-1]==B[j-1])
            	{
        			matrix[i][j] = 1 + matrix[i-1][j-1];
        			max = max > matrix[i][j] ? max : matrix[i][j];
            	}
            	else
                	matrix[i][j] = 0;
            } 
        }
        
        return max;
    }
};
 

上述程式碼可以滿足題目要求。另外注意到，上述實現中我們略去了“記憶體回收”的部分程式碼。當然，由於為了演示“動態規劃”的套路，這裡所採用的是一種非常樸素的實現方式、併為對其進行優化，你還可以改進它，以實現更高的效率。

與上面這道題目類似的還有#72題（ Edit Distance）。該題目是要計算兩個單詞之間的編輯距離，其具體描述如下：

這道題目和前面的題目思路差不多，但是卻複雜很多。題目本身可以使用著名的德勒曼-溫施（Needleman-Wunsch）演算法直接解決。Needleman-Wunsch演算法也是歷史上最早的應用動態規劃思想設計的演算法之一。關於該演算法的更多內容，讀者可以參考《

需要說明的是，在具體使用Needleman-Wunsch

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        
        int m = word1.size();
        int n = word2.size(); 

        if(m==0)  return n;
        if(n==0)  return m;

        int ** matrix = new int*[m+1];  
        
        int i = 0;
        int j = 0;
        int p = 0;
        int q = 0;

        for(i = 0; i < m+1; i++)  
        {  
            matrix[i] = new int[n+1];
            matrix[i][0] = 0+i; 
        }

        for(j = 0; j < n+1; j++)  
        {  
            matrix[0][j] = 0+j;  
        }

        for(i = 1; i < m+1; i++)  
        {  
            for(j = 1; j < n+1; j++)  
            {  

            	p = matrix[i][j-1] + 1 < matrix[i-1][j] + 1 ? matrix[i][j-1] + 1 : matrix[i-1][j] + 1;

                if(word1[i-1]==word2[j-1])  
                {  
                    q = matrix[i-1][j-1];  
                }  
                else
                {
                	q = matrix[i-1][j-1] + 1;   
                }

                matrix[i][j] = p < q ? p : q; 
            }   
        }

        return matrix[m][n]; 
         
    }
};

（本文完）

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