01揹包：https://biancheng.love/problem/51/index

有n 種不同的物品，每個物品有兩個屬性，weight重量，value 價值，現在給一個容量為 w 的揹包，問最多可帶走多少價值的物品。  

int f[w+1];   //f[x] 表示揹包容量為x 時的最大價值  
for(int i = 1; i <= n;i++)
        {
            for(long long j = weight[i]; j <= m; j++)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
                /*
                long long tmp = f[j - weight[i]] + value[i];
                if(f[j] < tmp)
                    f[j] = tmp;
                */
            }
        }
 

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）揹包不一定裝滿

      計算順序是：從右往左，自上而下：因為每個物品只能放一次，前面的體積小的會影響體積大的

（2）揹包剛好裝滿    

      計算順序是：從右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示負無窮

如果物品不計件數，就是每個物品不只一件的話，稍微改下即可  

for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = m; j >= weight[i]; j--)
                f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
 

        2、如果不需要正好裝滿 f[0~v] = 0;  

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）揹包不一定裝滿

計算順序是：從左往右，自上而下：  每個物品可以放多次，前面的會影響後面的

（2）揹包剛好裝滿

計算順序是：從左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示負無窮

多重揹包：https://biancheng.love/problem/122/index

多重揹包問題要求很簡單，就是每件物品給出確定的件數，求

看程式碼：  

1. int n;  //輸入有多少種物品
2. int c;  //每種物品有多少件
3. int v;  //每種物品的價值
4. int s;  //每種物品的尺寸
5. int count = 0; //分解後可得到多少種物品
6. int value[MAX]; //用來儲存分解後的物品價值
7. int size[MAX];  //用來儲存分解後物品體積
8. scanf("%d", &n);    //先輸入有多少種物品，接下來對每種物品進行分解
9. while (n--)     //接下來輸入n中這個物品
10. {  
11.     scanf("%d%d%d", &c, &s, &v);  //輸入每種物品的數目和價值
12.     for (int k=1; k<=c; k<<=1)   //<<右移 相當於乘二
13.     {  
14.         value[count] = k*v;  
15.         size[count++] = k*s;  
16.         c -= k;  
17.     }  
18.     if (c > 0)  
19.     {  
20.         value[count] = c*v;  
21.         size[count++] = c*s;  
22.     }  
23. }  

定理：一個正整數n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是滿足n-2^k+1>0的最大整數）的形式，且1～n之內的所有整數均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某幾個數的和的形式。

證明如下：

（1） 數列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和為n，所以若干元素的和的範圍為：[1, n]；

（2）如果正整數t<= 2^k – 1,則t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某幾個數的和表示，這個很容易證明：我們把t的二進位制表示寫出來，很明顯，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二進位制數為0或者1.

（3）如果t>=2^k,設s=n-2^k+1，則t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某幾個數的和的形式，進而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某幾個數的和（加數中一定含有s）的形式。

（證畢！）

        現在用count 代替 n 就和01 揹包問題完全一樣了  

可參考杭電2191（多重揹包用01和完全揹包）