題目描述

這次小可可想解決的難題和中國象棋有關，在一個N行M列的棋盤上，讓你放若幹個炮（可以是0個），使得沒有一個炮可以攻擊到另一個炮，請問有多少種放置方法。大家肯定很清楚，在中國象棋中炮的行走方式是：一個炮攻擊到另一個炮，當且僅當它們在同一行或同一列中，且它們之間恰好 有一個棋子。你也來和小可可一起鍛煉一下思維吧！

題目大意

在一個n*m的棋盤中，求任意行和任意列上最多有2個棋子的方案總數。

感想

真的是一道DP好題，狀態，轉移方程都非常的難想，我也WA了好幾發。

分析

看到題目，很明顯可以發現的是，因為炮必須是要隔山打虎，那麽任意列和任意行都不能有兩個棋子。（其實我非常想把題目改成3個，這樣難度有加大了）。

因為每一行每一列<=2,所以
定義狀態：
\[f[i][j][k]\]
表示前\(i\)中，有\(j\)列有\(1\)個棋子，有\(k\)列有\(2\)個棋子有多少種方案數。
決策分\(3\)種：

第一種是放\(0\)個棋子
這種狀態很明顯只有轉移，也就是可以從上一層直接推過來，\(j\)和\(k\)都不變。
轉移方程：\(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]\)

第二種是放一個\(1\)個棋子：

• \(1\)顆棋子放在沒有棋子的列上，那麽這樣會使現在多\(1\)列有\(1\)個棋子的列，那麽原來比現在要少\(1\)，也就是可以從\(f[i-1][j-1][k]\)轉移過來，但是在原來的狀態上，有\(m-(j-1)-k\)
  列是沒有棋子的，也就是這幾列上都是可以放棋子，根據乘法原理得到轉移方程就是：\(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-(j-1)-k)\)。
• \(1\)顆棋子放在有1個棋子的列上，那麽就會讓減少原來的有\(1\)個棋子的列，增加一個\(2\)個棋子的列，也就是說原來有\(j+1\)列1個棋子的列，有\(k-1\)個2個棋子的列，得到轉移方程就是\(f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)\)。

第三種是放一個\(2\)個棋子：

• \(1\)顆棋子放在沒有棋子的列上，\(1\)顆棋子放在有\(1\)個棋子的列上，那麽很明顯這樣原來的狀態就是\(f[i-1][j][k-1]\)
  ，因為有一列從\(0\)變成了\(1\)，有一列從\(1\)變成了\(2\)，就相當於是一列從0變成了2，那麽轉移方程就是：\(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*(m-j-(k-1))\)。
• \(2\)顆棋子都放在沒有棋子的列上，而且兩個棋子在不同的列上，那麽原來就有\(j-2\)列是只有\(1\)個棋子，可得原來的狀態就是\(f[i-1][j-2][k]\)，因為不能有在同一列上，那麽需要對剩余沒有棋子的列進行排列組合，剩下來的點數為\(m-(j-2)-k\)，取兩個那麽就是\(C^{2}_{m-(j-2)-k}\)，得到轉移方程：\(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C^{2}_{m-(j-2)-k}\)。
• \(2\)顆棋子都放在有一個棋子的列上，而且兩個棋子不在同一列，那麽現在減少了\(2\)個有\(1\)個棋子的列，增加了\(2\)個有\(2\)個棋子的列，推出原來的狀態是\(f[i-1][j+2][k-2]\)，在此根據排列組合，乘法原理得到轉移方程是：\(f[i-1][j+2][k-2]*C^{2}_{j+2}\)。

綜上，我們整理一下轉移方程：
\[if (k >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1))\]
\[if (j >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j - 1][k] * (m - (j - 1) - k))\]
\[if (k >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j][k - 1] * j * (m - j - (k - 1)))\]
\[if (j >= 2) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j - 2][k] * calc(m - (j - 2) - k))\]
\[if (k >= 2) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j + 2][k - 2] * calc(j + 2))\]
其中calc就是求組合數。

ac代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 9999973
#define N 105
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x) {
    x = 0; T fl = 1;
    char ch = 0;
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') fl = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    x *= fl;
}
ll f[N][N][N];
int n, m;
ll calc(ll x) {
    return (x * (x - 1)) / 2 % mod;
}
int main() {
    read(n); read(m);
    f[0][0][0] = 1ll;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {
            for (int k = 0; k <= m - j; k ++) {
                f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
                if (k >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1)) % mod;
                if (j >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j - 1][k] * (m - (j - 1) - k)) % mod;
                if (k >= 1) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j][k - 1] * j * (m - j - (k - 1))) % mod;
                if (j >= 2) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j - 2][k] * calc(m - (j - 2) - k)) % mod;
                if (k >= 2) f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - 1][j + 2][k - 2] * calc(j + 2)) % mod;
                f[i][j][k] %= mod;
            }
        }
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i ++) {
        for (int j = 0; j <= m ; j ++) {
            ans = (ans + f[n][i][j]) % mod;
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

[luogu2051][bzoj1801][AHOI2009]chess中國象棋