P3358 最長k可重區間集問題

題目描述

對於給定的開區間集合 I 和正整數 k，計算開區間集合 I 的最長 k可重區間集的長度。

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的第 1 行有 2 個正整數 n和 k，分別表示開區間的個數和開區間的可重叠數。接下來的 n行，每行有 2 個整數，表示開區間的左右端點坐標。

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將計算出的最長 k可重區間集的長度輸出

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說明

對於100%的數據，1\le n\le 5001≤n≤500,1\le k\le 31≤k≤3

寫一下這個題目的思路，這個圖很難建。
看了一下題解，覺得很巧妙。

看了這個圖就好理解一點了，就是你要把k假定為網絡流的最大流量，把每一個區間離散化。

這個看代碼更好理解一些，不過可以抽象的講一下。

就是你把這些區間互不相重疊的劃成一條路，假設有5條路，k=2，

那麽最多只能從這五條路裏面選擇兩條路，因為如果大於等於2，那麽就會出現問題，比如說，第一個區間和第二個區間，

則第二個區間裏的每一段，如果不是和第一個區間肯定都是和第一個區間的某一段有交集。

。。。。不好說，還是看代碼吧，多搜搜題解，不放棄，最後總會寫的。

#include <cstdio>
#include 
 
<cstdlib>
#include <queue>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cstring>
#include <string>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5;
 
struct edge
{
    int u, v, c, f, cost;
    edge(int u, int v, int c, int f, int cost) :u(u), v(v), c(c), f(f), cost(cost) {}
};
vector<edge>e;
vector<int>G[maxn];
int a[maxn];//找增廣路每個點的水流量
int p[maxn];//每次找增廣路反向記錄路徑
int d[maxn];//SPFA算法的最短路
int inq[maxn];//SPFA算法是否在隊列中
int s, t;
void init(int n)
{
    for (int i = 0; i <= n; i++)G[i].clear();
    e.clear();
}
void add(int u, int v, int c, int cost)
{
    e.push_back(edge(u, v, c, 0, cost));
    e.push_back(edge(v, u, 0, 0, -cost));
    int m = e.size();
    G[u].push_back(m - 2);
    G[v].push_back(m - 1);
}
bool bellman(int s, int t, int& flow, long long & cost)
{
    memset(d, 0xef, sizeof(d));
    memset(inq, 0, sizeof(inq));
    d[s] = 0; inq[s] = 1;//源點s的距離設為0，標記入隊
    p[s] = 0; a[s] = INF;//源點流量為INF（和之前的最大流算法是一樣的）

    queue<int>q;//Bellman算法和增廣路算法同步進行，沿著最短路拓展增廣路，得出的解一定是最小費用最大流
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        inq[u] = 0;//入隊列標記刪除
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++)
        {
            edge & now = e[G[u][i]];
            int v = now.v;
            if (now.c > now.f && d[v] < d[u] + now.cost)
                //now.c > now.f表示這條路還未流滿（和最大流一樣）
                //d[v] > d[u] + e.cost Bellman 算法中邊的松弛
            {
                d[v] = d[u] + now.cost;//Bellman 算法邊的松弛
                p[v] = G[u][i];//反向記錄邊的編號
                a[v] = min(a[u], now.c - now.f);//到達v點的水量取決於邊剩余的容量和u點的水量
                if (!inq[v]) { q.push(v); inq[v] = 1; }//Bellman 算法入隊
            }
        }
    }
    if (d[t] < 0)return false;//找不到增廣路
    flow += a[t];//最大流的值，此函數引用flow這個值，最後可以直接求出flow
    cost += (long long)d[t] * (long long)a[t];//距離乘上到達匯點的流量就是費用
    for (int u = t; u != s; u = e[p[u]].u)//逆向存邊
    {
        e[p[u]].f += a[t];//正向邊加上流量
        e[p[u] ^ 1].f -= a[t];//反向邊減去流量 （和增廣路算法一樣）
    }
    return true;
}
int MaxcostMaxflow(int s, int t, long long & cost)
{
    cost = 0;
    int flow = 0;
    while (bellman(s, t, flow, cost));//由於Bellman函數用的是引用，所以只要一直調用就可以求出flow和cost
    return flow;//返回最大流，cost引用可以直接返回最小費用
}

struct node
{
    int l, r;
}exa[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.l < b.l;
}
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int s1 = 1;
    s = 0, t = 2 * n + 2;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin >> exa[i].l >> exa[i].r;
        if (exa[i].l > exa[i].r) swap(exa[i].l, exa[i].r);
    }
    sort(exa + 1, exa + 1 + n, cmp);
    add(s, s1, m, 0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        add(s1, 1 + 2 * i - 1, 1, 0);
        add(1 + 2 * i - 1, 1 + 2 * i,1, exa[i].r - exa[i].l);
        add(1 + 2 * i, t, 1, 0);
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if (exa[j].r <= exa[i].l) add(1 + 2 * j, 1 + 2 * i - 1, 1, 0);
        }
    }
    ll cost = 0;
    int ans = MaxcostMaxflow(s, t, cost);
    printf("%lld\n", cost);
    return 0;
}

網絡流 P3358 最長k可重區間集問題