[轉] 先驗概率與後驗概率&&貝葉斯與似然函數
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先驗概率和後驗概率
教科書上的解釋總是太繞了。其實舉個例子大家就明白這兩個東西了。
假設我們出門堵車的可能因素有兩個（就是假設而已，別當真）：車輛太多和交通事故。
堵車的概率就是先驗概率 。
那麽如果我們出門之前我們聽到新聞說今天路上出了個交通事故，那麽我們想算一下堵車的概率，這個就叫做條件概率 。也就是P(堵車|交通事故)。這是有因求果。
如果我們已經出了門，然後遇到了堵車，那麽我們想算一下堵車時由交通事故引起的概率有多大，
那這個就叫做後驗概率 （也是條件概率，但是通常習慣這麽說） 。也就是P(交通事故|堵車)。這是有果求因。
下面的定義摘自百度百科：
先驗概率是指根據以往經驗和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作為"由因求果"問題中的"因"出現.
後驗概率是指依據得到"結果"信息所計算出的最有可能是那種事件發生,如貝葉斯公式中的,是"執果尋因"問題中的"因".
那麽這兩個概念有什麽用呢？
最大似然估計
我們來看一個例子。
有一天，有個病人到醫院看病。他告訴醫生說自己頭痛，然後醫生根據自己的經驗判斷出他是感冒了，然後給他開了些藥回去吃。
有人肯定要問了，這個例子看起來跟我們要講的最大似然估計有啥關系啊。
關系可大了，事實上醫生在不知不覺中就用到了最大似然估計（雖然有點牽強，但大家就勉為其難地接受吧^_^）。
怎麽說呢？
大家知道，頭痛的原因有很多種啊，比如感冒，中風，腦溢血...（腦殘>_<這個我可不知道會不會頭痛，還有那些看到難題就頭痛的病人也不在討論範圍啊！）。
那麽醫生憑什麽說那個病人就是感冒呢？哦，醫生說這是我從醫多年的經驗啊。
咱們從概率的角度來研究一下這個問題。
其實醫生的大腦是這麽工作的，
他計算了一下
P(感冒|頭痛)（頭痛由感冒引起的概率，下面類似）
P(中風|頭痛)
P(腦溢血|頭痛)
...
然後這個計算機大腦發現，P(感冒|頭痛)是最大的，因此就認為呢，病人是感冒了。看到了嗎？這個就叫最大似然估計（Maximum likelihood estimation，MLE） 。
咱們再思考一下，P(感冒|頭痛)，P(中風|頭痛)，P(腦溢血|頭痛)是先驗概率還是後驗概率呢？
沒錯，就是後驗概率。看到了吧，後驗概率可以用來看病（只要你算得出來，呵呵）。
事實上，後驗概率起了這樣一個用途，根據一些發生的事實（通常是壞的結果），分析結果產生的最可能的原因，然後才能有針對性地去解決問題。
那麽先驗概率有啥用呢？
我們來思考一下，P(腦殘|頭痛)是怎麽算的。
P(腦殘|頭痛)=頭痛的人中腦殘的人數/頭痛的人數
頭痛的樣本倒好找，但是頭痛的人中腦殘的人數就不好調查了吧。如果你去問一個頭痛的人你是不是腦殘了，我估計那人會把你拍飛吧。
接下來先驗概率就派上用場了。
根據貝葉斯公式 ，
P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)
我們可以知道
P(腦殘|頭痛)=P(頭痛|腦殘)P(腦殘)/P(頭痛)
註意，(頭痛|腦殘)是先驗概率，那麽利用貝葉斯公式我們就可以利用先驗概率把後驗概率算出來了。
P(頭痛|腦殘)=腦殘的人中頭痛的人數/腦殘的人數
這樣只需要我們去問腦殘的人你頭痛嗎，明顯很安全了。
（你說腦殘的人數怎麽來的啊，那我們就假設我們手上有一份傳說中的腦殘名單吧。那份同學不要吵，我沒說你在名單上啊。
再說調查腦殘人數的話咱就沒必要抓著一個頭痛的人問了。起碼問一個心情好的人是否腦殘比問一個頭痛的人安全得多）
我承認上面的例子很牽強，不過主要是為了表達一個意思。後驗概率在實際中一般是很難直接計算出來的，相反先驗概率就容易多了。因此一般會利用先驗概率來計算後驗概率。
似然函數與最大似然估計
下面給出似然函數跟最大似然估計的定義。
我們假設f是一個概率密度函數，那麽
是一個條件概率密度函數（θ 是固定的）
而反過來，
叫做似然函數 （x是固定的）。
一般把似然函數寫成
θ是因變量。
而最大似然估計 就是求在θ的定義域中，當似然函數取得最大值時θ的大小。
意思就是呢，當後驗概率最大時θ的大小。也就是說要求最有可能的原因。
由於對數函數不會改變大小關系，有時候會將似然函數求一下對數，方便計算。
例子：
我們假設有三種硬幣，他們扔到正面的概率分別是1/3，1/2，2/3。我們手上有一個硬幣，但是我們並不知道這是哪一種。因此我們做了一下實驗，我們扔了80次，有49次正面，31次背面。那麽這個硬幣最可能是哪種呢？我們動手來算一下。這裏θ的定義域是{1/3，1/2，2/3}
當p=2/3時，似然函數的值最大，因此呢，這個硬幣很可能是2/3。
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