『嗨威說』演算法設計與分析 - 演算法第二章上機實踐報告（二分查詢 / 改寫二分搜尋演算法 / 兩個有序序列的中位數）
本文索引目錄：
一、PTA實驗報告題1 ： 二分查詢
1.1 實踐題目
1.2 問題描述
1.3 演算法描述
1.4 演算法時間及空間複雜度分析
二、PTA實驗報告題2 ： 改寫二分搜尋演算法
2.1 實踐題目
2.2 問題描述
2.3 演算法描述
2.4 演算法時間及空間複雜度分析
三、PTA實驗報告題3 ： 兩個有序序列的中位數
3.1 實踐題目
3.2 問題描述
3.3 演算法描述
3.4 演算法時間及空間複雜度分析
四、實驗心得體會（實踐收穫及疑惑）
一、PTA實驗報告題1 ： 二分查詢
1.1 實踐題目：
1.2 問題描述：
這道題主要闡述，給你一段有序的數字序列（已經排好序了），並給出需要查詢的數Value，利用二分查詢發法找出Value所在的下標，以及查詢過程中所比較的次數。
1.3 演算法描述：
二分查詢的定義：
二分查詢也稱折半查詢（Binary Search），它是一種效率較高的查詢方法。
折半查詢要求線性表必須採用順序儲存結構，而且表中元素按關鍵字有序排列。
二分查詢的操作：
假如以本例的樣例來說，具體操作流程如下：
首先得到了一段數字序列，存入空間Temp：
將這段Temp陣列送入遞迴中，賦值左右指標為0和3（下標）
求得left與right的中間下標mid = （ l + r） >> 1，mid結果是向下取整的，得注意一下！
得到中間下表mid之後，對mid所在的數，跟value值，進行比較，如果小了，那麼就送入遞迴（mid +1 ，right）
如果比value值大了，那麼就送入遞迴（left，mid）區間。
在此處，temp【mid】 = 2，大於題目給的value，所以，我們送入遞迴（0，1）中，剩下的數字就不管了。
此時發現mid = （0 + 1 ）/ 2 = 0， 所在的值與題乾的value值 相等，從此return返回，到此總共比較2次。
下面是程式碼展示：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int temp,x,ans,cnt,mark[99999999];
int getAns(int l,int r)
{
cnt++;
if(l >= r)
return l;
int mid = (l + r) / 2;
if(mark[mid] == x)
return mid;
if(x<=mark[mid])
return getAns(l,mid-1);
else
return getAns(mid+1,r);
}
int main()
{
cin>>temp;
for(int i = 0;i<temp;i++) cin>>mark[i];
cin>>x;
ans = getAns(0,temp-1);
if(mark[ans] != x) ans = -1;
cout<<ans<<endl;
cout<<cnt<<endl;
}
1.4 演算法時間及空間複雜度分析：
整體演算法上看，二分演算法是不斷折半查詢，不斷折半，所以時間複雜度是以2為底的係數，也就是O（log2 n）的複雜度。
再加上特判的一些處理，以及輸出的處理，都是在O（1）的複雜度，所以綜合起來，時間複雜度是O（logn）。
空間複雜度上，使用一個與問題規模一致的Temp陣列空間，並且使用了三個臨時變數，整體來說沒有開闢新的輔助空間。
所以空間複雜度是O（1）。
二、PTA實驗報告題2 ： 改寫二分搜尋演算法：
2.1 實踐題目：
2.2 問題描述：
第二題是二分演算法的一個小小改進，不過做了一個變化，就是不存在指定數value時，就輸出小於x的最大元素位置i和大於x的最小元素位置j，如果存在這個數，就直接輸出i，j，且i == j。
2.3 演算法描述：
首先，讀題：就是不存在指定數value時，就輸出小於x的最大元素位置i和大於x的最小元素位置j，其實在這裡可以發現，當二分遞迴出來的結果l，即使找不到，也是小於x的最大元素位置i，那麼求大於x的最小元素位置j只需要加1即可，對於特別的點，只需要進行一些簡單的特判，就可以過了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int temp,x,ans,cnt,mark[99999999];
int getAns(int l,int r)
{
cnt++;
if(l >= r)
return l;
int mid = (l + r) / 2;
if(mark[mid] == x)
return mid;
if(x<=mark[mid])
return getAns(l,mid-1);
else
return getAns(mid+1,r);
}
int main()
{
cin>>temp>>x;
for(int i = 0;i<temp;i++) cin>>mark[i];
ans = getAns(0,temp-1);
if(mark[ans] != x)
{
if(ans == 0)
cout<<"-1 0";
else
cout<<ans<<" "<<ans+1;
return 0;
}
cout<<ans<<" "<<ans<<endl;
return 0;
}
2.4 演算法時間及空間複雜度分析：
演算法複雜度依舊和第一題一樣，本質都是二分搜尋，時間複雜度為O（log n）
空間複雜度上，依舊用了四個臨時變數並使用一個與問題規模同大的Temp陣列，整體來說沒用使用額外的輔助空間，空間複雜度為O（1）。
三、PTA實驗報告題3 ： 兩個有序序列的中位數：
3.1 實踐題目：
3.2 問題描述：
該題目為：題幹給你兩段有序的數字序列，想辦法使用logn的演算法實現找出兩段合併後的序列內的中位數。
3.3 演算法描述：
這道題我一上來的想法思路就是用排序然後取值，但是這樣的時間複雜度就會到O（nlogn），超出了題目所限制的時間複雜度，於是我們需要另外思考一個新的辦法，那就是使用二分搜尋，對不同的兩段數學分別求解中位數：
①如果兩段序列的中位數，都是相等的話，那麼中位數即為該數。
②如果當第一段的中位數大於第二段的時候，那麼兩端閤中位數一定在第一段中位數前或第二段中位數後，這時只取這兩部分，再繼續進行二分比較
③如果當第一段的中位數小於第二段的時候，那麼兩端閤中位數一定在第一段中位數後面或第二段中位數前面，這時只取這兩部分，再繼續進行二分比較
這裡我需要用一下我同伴做的一張圖，我覺得做的還不錯，特地分享一下:
AC程式碼：
#include<iostream>
using namespace std;
int n,a[100000],b[100000];
int getAns(int a[],int b[],int n) {
int l1 = 0, l2 = 0, r1 = n - 1, r2 = n - 1;
while(l1 < r1 && l2 < r2) {
int mid1 = (l1 + r1) / 2;
int mid2 = (l2 + r2) / 2;
if (a[mid1] == b[mid2])
return a[mid1];
if (a[mid1] < b[mid2]) {
if ((l1 + r1) % 2 == 0) {
l1 = mid1;
r2 = mid2;
}
else {
l1 = mid1 + 1;
r2 = mid2 ;
}
}
else {
if ((l1 + r1) % 2 == 0) {
r1 = mid1;
l2 = mid2;
}
else {
r1 = mid1;
l2 = mid2 +1;
}
}
};
if (a[l1] < b[l2])
cout << a[l1] << endl;
else
cout << b[l2] << endl;
}
int main() {
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> b[i];
getAns(a, b, n);
return 0;
}
3.4 演算法時間及空間複雜度分析：
因為採用二分查詢演算法來尋找中位數而不是排序，所以時間複雜度為O（logn）。
依舊用了四個臨時變數並使用兩個與問題規模同大的陣列，沒用使用其他的輔助空間，所以空間複雜度為O（1）。
四、實驗心得體會（實踐收穫及疑惑）：
二分搜尋看起來思路挺簡單的，但是在執行過程中，總會有一些細節上的小錯誤，在這次的實驗過程種也感受到了：
① 邊界點的等號是否取到，中間點的位置是否可取
② 二分的物件該如何妥當處理
等等的細節問題，在我日常ACM打題時也有遇到像double浮點數，處理上可能會更麻煩一點點，除此之外，二分還只是最基礎的演算法，更多的還有三分，尺取法等。最核心的思想也就是，分而治之：
也在一些書籍找到一些關於分治演算法的解釋：
分治演算法是遞迴的解決問題的一般步驟為：
（1）找出基線條件，這種條件必須儘可能簡單
（2）不斷將問題分解(或者說縮小規模)，直到符合基線條件。
（3）按原問題的要求，判斷子問題的解是否就是原問題的解，或是需要將子問題的解逐層合併構成原問題的解。
分治法的設計思想是，將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
如有錯誤不當之處，煩請指