狄利克雷函式為什麼不具有最小正週期
阿新 • • 發佈：2019-10-06
目錄
- 一、狄利克雷函式
- 二、狄利克雷函式為什麼是周期函式
- 三、狄利克雷函式為什麼沒有最小正週期
一、狄利克雷函式
狄利克雷（Dirichlet）函式如下所示：
\[
D(x) =
\begin{cases}
1,\quad{x\in{Q\,\,\,\,\quad(有理數-》可精確表示兩個整數之比的數)}}, \\
0,\quad{x\in{Q^C\quad(無理數-》不可精確表示兩個整數之比的數)}},
\end{cases}
\]
二、狄利克雷函式為什麼是周期函式
周期函式的定義：設函式\(f(x)\)的定義域為\(D\)，如果存在一個正數\(l\)，使得對於任一\(x\in{D}\)有\((x\pm{l})\in{D}\)且\(f(x+l)=f(x)\)，則稱\(f(x)\)為周期函式，\(l\)稱為\(f(x)\)的週期（通常指最小正週期）
判斷狄利克雷函式為什麼是周期函式之前，我們首先明確兩件事（中學）：
- \(有理數 + 正數 = 有理數\)
- \(無理數 + 正數 = 無理數\)
如果理解了上述兩件事，答案就出來了。從狄利克雷函式中，我們可以得知：只要\(x = 有理數\)，則\(f(x)=1\)；只要\(x=無理數\)，則\(f(x)=0\)，那任意一個正有理數（正數）r都可以是狄利克雷函式的週期。
三、狄利克雷函式為什麼沒有最小正週期
上文推出任意一個正有理數\(r\)都是狄利克雷函式的週期，由於不存在最小的正有理數，因此狄利克雷函式也就沒有最小正周