演算法君：小白同學，給你出道演算法題，看你小子演算法能力有沒有長進。

演算法小白：最近一直在研究演算法，刷了很多演算法題，正好活動活動大腦，來來來，趕快出題！

演算法君：聽好了，題目是：求一個字串中最長的迴文字串。

演算法小白：這個演算法好像很簡單，就是有一個概念不太明白，啥叫“迴文字串”。

演算法君：哈哈，你說的很簡單，一定是題目的字數很少的意思。

演算法小白：哦，又被老大猜中了。還是先給我講一下什麼是迴文字串吧！

演算法君：迴文字串嗎！首先是一個字串（廢話），然後，核心就是迴文。“回”嗎，就是來來回回的意思。其實就是正向和反向遍歷字串中的每一個字元，然後嘛，如果遍歷的結果都一樣，就是迴文字串。例如，有一個字串abcba，無論正向遍歷，還是反向遍歷，結果都是abcba，如果還不清楚，可以看下圖。

 

演算法小白：太好了，我終於知道什麼叫回文字串了，現在可以做這道題了。只要正向和反向分別遍歷一遍字串，然後比較一下結果，如果兩次遍歷的結果相同，就是迴文字串，哈哈哈，對嗎？老大。

演算法君：著什麼急，你看清題目了嗎？不是讓你判斷是否為迴文字串，是要在一個字串中尋找最長迴文字串，例如，akbubk是一個字串，這裡邊有很多回文字串，其實單個字母就是一個迴文字串，還有就是bub、kbubk，很顯然，最長的迴文字串就是kbubk。

演算法小白：懂了，懂了，題目還要一個條件，就是要找到所有迴文字串中最長的一個。

演算法君：真懂了嗎？ 好吧，說說你怎麼設計這個演算法。   演算法小白：我只用了0.01秒，就想到如何設計了，當然是得到字串中的所有子串，然後找到所有的迴文字串，最後，當然是對這些迴文字串按長度排序，並找到最大的迴文字串了。哈哈哈，我聰明嗎！！！   演算法君：Are you crazy？（此時的演算法君內心一定是有一萬匹草泥馬跑過，氣得都飆英文了），這麼做當然沒錯，但.....，效率太低了。這要是字串長點，是要去租用超級計算機執行演算法程式嗎？   演算法小白：不好意思啊，我只想到了這種演算法，反正能實現就行唄，管它效率怎樣呢！   演算法君：設計演算法可不光是實現就行，要注重效率、效率、還是效率，重要的事情說三遍。這才能真正體現出演算法之美，否則，直接用最笨的方法誰都會。   演算法小白：那麼老大有什麼更好的實現嗎？   演算法君：當然，我作為老大，自然是肚子裡有貨了，先給你講一種效率較高的演算法。   演算法君：要優化一個演算法，首先要知道原來的演算法哪裡效率低了。就拿前面給出的字串akbubk來說。u、bub和kbubk都是迴文字串，我們前面說了，判斷迴文字串就是要分別正向和反向遍歷一遍字串，然後比較遍歷結果，如果結果相同，就是迴文字串。對於單個字元，直接就是迴文字串，對於bub來說，按常規的判斷方法，需要正向迴圈3次（得到正向字串），反向迴圈3次（得到反向字串）。一共6次才能判斷該字串是否為迴文字串（不過正向可以省略了，因為就用字串本身就可以了），而對於kbubk來說，需要遍歷10次才可以。   演算法君：這是按常規的做法。但是，我們仔細觀察，bub和u的關係，u是包含在bub中的，而且u肯定是迴文字串，所以以u為軸，只要判斷該字串的首字元與尾字元是否相等即可。也就是說，這樣一來，就只需要比較一次（首字元和尾字元進行比較）就可以了，效率大大提升。   演算法小白：好像是有點明白了。   演算法君：別急別急，我還沒說完呢！如果感覺bub和u的關係太簡單，可以再看一下bub和kbubk的關係。bub是包含在kbubk中的，如果按常規的做法，bub正反遍歷兩次判斷是否為迴文字串，而kbubk同樣需要遍歷兩次，但對於kbubk來說，遍歷的這兩次，是包含bub的兩次遍歷的，也就是說，這裡重複遍歷了。這就是我們應該優化的地方：避免重複遍歷字串。     演算法小白：真是醍醐灌頂啊，那麼如何避免重複遍歷字串呢？     演算法君：當然是儲存歷史了，我們是怎麼知道秦皇漢武、唐宗宋祖的，不就是通過歷史書嗎？咱們又沒見過這幾位老哥，對不！   演算法小白：儲存歷史？讓我來猜一猜，是不是將已經確認的迴文字串儲存起來呢，如果下次再遇到這些已經確認的迴文字串，就不需要再進行遍歷了，直接取結果就行了！   演算法君：算你小子聰明一回，沒錯，是要將已經確認的迴文字串儲存起來，但並不是儲存迴文字串本身。而是要儲存字串是否為迴文的結果。還拿kbubk為例，我們可以將kbubk看成3部分，首字元k是一部分，尾字元k是一部分，中間的子字串bub是一部分，如下圖所示。   演算法君：對於這個特例來說，bub是迴文字串。而尋找akbubk中最長迴文字串的過程中，肯定是從長度為1的子字串開始搜尋，然後是長度為2的字串，以此類推，所以bub一定比kbubk先搜尋到，所以需要將bub是迴文字串的結果儲存起來，如果要判斷kbubk是否為迴文字串，只需要經過如下2步就可以了： 1. 判斷首尾兩個字元是否相同 2. 判斷夾在首尾字元中間的子字串是否為迴文字串   演算法君：如果這兩步的結果都是yes，那麼這個字串就是迴文字串，將該模型泛化，如下圖所示。     演算法小白：這下徹底明白了，不過應該如何儲存歷史呢？設計演算法和實現演算法還是有一定差別的，這就是理論派和實踐派的差距，中間差了一個特斯拉的距離。 演算法君：哈哈，理論與實踐是有差別的，但好像也沒那麼大。其實理論與實踐很多時候是相輔相成的。   演算法小白：快快，給我講講到底如何儲存歷史，給我一架從理論到實踐的梯子吧！   演算法君：梯子！沒有，我這有一壺涼水，澆下去就灌頂了！   演算法小白：別逗了，趕快說說！   演算法君：要想確定如何儲存歷史記錄，首先要確定如何獲取這些資料，然後再根據獲取的方式確定具體的資料結構。我們期望知道字串中任意的子串是否是迴文字串，這個子串的第一個字元在原字串中的索引是i，最後一個字元在原字串中的索引是j。所以我們期望有一個函式is_palindrome_string，通過將i和j作為引數傳入該函式，如果i和j確定的字串是迴文，返回true，否則返回false。   演算法小白：老大的意思是說將i和j作為查詢歷史記錄的key嗎？   演算法君：沒錯，這次終於說對了一回。下面就看is_palindrome_string函式如何實現了！   演算法小白：我想想啊，那麼如何實現這個is_palindrome_string函式呢？通過key搜尋是否為迴文的歷史記錄，也就是搜尋value，在Python中字典可以實現這個功能。用字典可以嗎？   演算法君：字典算是一種實現，你想想用字典具體應該如何實現呢？   演算法小白：這個我知道，Python我已經很熟悉了。可以將i和j作為一個列表，然後作為字典的key，不不不，該用元組，Python中是不支援將列表作為字典的key的。   例如：history_record = {(1,1):True, (1,3):False}   演算法小白：然後通過元組(i,j)查詢歷史，例如，要想知道索引從1到3的子串是否為迴文字串，只需要搜尋history_record即可，程式碼如下： history_record[(1,3)]   演算法君：沒錯，這算是一種儲存歷史的方法，不過搜尋字典仍然需要時間，儘管時間不是線性的。想想還有沒有更快的定位歷史記錄的方法呢？   演算法小白：快速定位？..... 這個，比字典還快，難道是用魔法嗎？ 哈哈哈！這個還真一時想不出。   演算法君：其實在資料結構中，已經清楚地闡述了最快定位的資料結構，這就是陣列，由於陣列是在記憶體中的一塊連續空間，所以可以根據偏移量瞬間定位到特定的位置。     演算法小白：嗯，陣列我當然知道，不過如何用陣列來儲存迴文字串的歷史呢？   演算法君：前面提到的is_palindrome_string函式有兩個引數i和j。i和j是字串中某一個字元的索引，從0開始，取值範圍都是0 <= i,j < n（這裡假設字串的長度是n），其實這也符合二維陣列的索引取值規則。假設有一個n*n的正方形二維陣列P（每個元素初始值都是0）。如果從i到j的字串是迴文字串，那麼就將P[i,j]設為1，如果要知道從i到j的字串是否為迴文字串，也只需要查詢P[i,j]即可。   演算法君：舉個具體的例子，有一個字串acxxcd，要求該字串的最大回文字串，可以建立如下圖的6*6的二維陣列，初始化為0。   然後將長度為1的字串標記為迴文字串（主對角線上），如P[0,0],P[1,1]等。     接下來將長度為2 的字串是迴文的做一下標記，也就是兩個字元相等的字串，這裡只有一個，那就是xx，也就是P[2,3]。如下圖所示。     在字串acxxcd中，並沒有長度為3的迴文字串，所以直接搜尋長度為4的迴文字串，如果搜尋長度為4的字串，按著前面的描述，先要判斷首尾字元是否相等，如果相等，再判斷夾在中間的字串是否為迴文字串，夾在中間的字串的長度肯定是2，所以可以直接在這個二維陣列上定位。例如，搜尋到cxxc，首尾字元都是c，中間的xx在二維陣列中的座標是P[2,3]，這個位置剛剛在前面設定為1，所以xx是迴文字串，從而判定cxxc是迴文字串。而cxxc在整個字串中首尾字元的位置是（1,4)，所以需要將P[1,4]設定為1，如下圖所示。     繼續掃描長度為5的迴文字串（不存在），然後是長度為6的迴文字串（不存在），所以這個唯一的長度為4的迴文字串就是acxxcd的最長迴文字串。   演算法君：這種演算法還有一個名字：動態規劃法   演算法小白：哈哈，還可以這麼做。又學了一招！！老大就是老大！   演算法君：不過這種儲存方案也有缺點，就是比較浪費記憶體空間，因為需要額外申請n*n的陣列空間。另外，你能說出這個演算法的時間複雜度和空間複雜度嗎？   演算法小白：複雜度？我想想，所謂複雜度就是值隨著演算法輸入資料的多少，時間和空間的變化關係吧。如是線性變化的，那麼時間複雜度就是O(n)。   演算法君：是的，可以這麼理解。那麼這個演算法的複雜度是多少呢？   演算法小白：由於該演算法需要申請n*n的陣列，所以空間複雜度應該是O(n^2），對於每一個字串，都需要從長度為1的迴文字串開始搜尋，需要雙重迴圈，所以時間複雜度也是O(n^2）。   演算法君：嗯，這回說得沒錯，那麼還有什麼更好的演算法可以降低空間複雜度嗎？例如，將空間複雜度降為O(1)，也就是不需要申請額外的記憶體空間。   演算法小白：我現在已經用腦過度了，這個要回去好好考慮下。感謝老大耐心講解。   演算法君：好吧，回去多想想還有沒有更好的演算法。下面給出一個具體的演算法實現（Python語言）。  

#動態規劃法求最長迴文字串的完整程式碼
class MaxPalindromeString:
    def __init__(self):
        self.start_index = None
        self.array_len = None

    def get_longest_palindrome(self,s):
        if s == None:
            return
        size = len(s)

        if size < 1:
            return
        self.start_index = 0
        self.array_len = 1
        # 用於儲存歷史記錄（size * size)
        history_record = [([0] * size) for i in range(size)]

        # 初始化長度為1的迴文字串資訊
        i= 0
        while i< size:
            history_record[i][i] = 1
            i += 1

        # 初始化長度為2的迴文字串資訊
        i = 0
        while i < size - 1:
            if s[i] == s[i+1]:
                history_record[i][i+1] = 1
                self.start_index = i
                self.array_len = 2
            i += 1

        # 查詢從長度為3開始的迴文字串
        p_len = 3
        while p_len <= size:
            i = 0
            while i < size-p_len + 1:
                j = i + p_len-1
                if s[i] == s[j] and history_record[i+1][j-1] == 1:
                    history_record[i][j] = 1
                    self.start_index = i
                    self.array_len = p_len
                i += 1
            p_len += 1
s = 'abcdefgfedxyz'
s1 = 'akbubk'
p = MaxPalindromeString()
p.get_longest_palindrome(s1)

if p.start_index != -1 and p.array_len != -1:
    print('最長迴文字串：',s1[p.start_index:p.start_index + p.array_len])
else:
    print('查詢失敗')
 

 

  演算法君：如果想知道這些演算法的具體實現細節，可以掃描下面的二維碼，並關注“極客起源”公眾號，然後輸入229893，即可獲得相關資源。除此之外，還有更多精彩內容等著你哦！