高等數學——講透求極限兩大方法，夾逼法與換元法
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今天的文章聊聊高等數學當中的極限，我們跳過極限定義以及一些常用極限計算的部分。我想對於一些比較常用的函式以及數列的極限，大家應該都非常熟悉。
大部分比較簡單的函式或者數列，我們可以很直觀地看出來它們的極限。比如\(\frac{1}{n}\)，當n趨向於無窮大的時候，\(\frac{1}{n}\)的極限是0，再比如當n趨向於無窮大的時候，\(n^2\)的極限也是無窮大，等等。但是對於一些相對比較複雜的函式，我們一時之間可能很難直觀地看出極限，因此需要比較方便計算極限的方法，今天的文章介紹的正是這樣的方法——夾逼法和換元法。
夾逼法
夾逼法在數學領域其實非常常用，在中學的競賽當中經常出現。夾逼法的原理非常簡單，對於某一個函式f(x)，我們知道它的表示式，但是很難確定它的範圍。我們可以先找到另外兩個範圍比較容易確定的函式g(x)和h(x)，然後證明:\(g(x)\leq f(x) \leq h(x)\)。通過h(x)和g(x)的範圍來夾逼f(x)的範圍。
說白了，就是直接求解不方便的函式，我們通過用其他容易計算的函式來替代的方法來間接求解，類似於“曲線救國”。
明白了夾逼法的概念之後，我們再來看一下它在數列極限當中的應用。當下存在數列\(\{x_n\}\)我們需要確定它的極限，我們找到了另外兩個數列\(\{y_n\}\)和\(\{z_n\}\)。如果它們滿足以下兩個條件：
- \(\exists n_0 \in N\)，當\(n > n_0\)時，有\(y_n \leq x_n \leq z_n\)。
- \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}y_n=a, \lim_{n \to +\infty}z_n=a\)
那麼，數列\(\{x_n\}\)的極限存在，並且\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}x_n=a\)。從直覺上來看，上面的式子應該非常直觀，但是我們還是試著從數學的角度來證明一下，順便回顧一下極限的定義。
證明過程如下：
根據極限的定義，對於數列\(\{x_n\}\)而言，對於任意\(\epsilon\)都存在\(n_0 > 0\)，使得對於任意：\(n > n_0\)，都有\(|x_n - a| < \epsilon\)。那麼就稱數列\(\{x_n\}\)的極限是a。
由於數列\(\{y_n\}\)的極限是a，所以存在\(n_1\)使得\(n > n_1\)時，\(|y_n -a | < \epsilon\)。同理，存在\(n_2\)使得\(n > n_2\)時，\(|z_n -a | < \epsilon\)。那麼對於\(n > max(n_1, n_2)\)顯然應該有：\(|y_n - a| < \epsilon\)並且\(|z_n - a | < \epsilon\)。
我們將絕對值展開，可以得到：
\[ \begin{aligned} a - \epsilon &< y_n < a + \epsilon \\ a - \epsilon &< z_n < a + \epsilon \end{aligned} \]
我們代入\(y_n \leq x_n \leq z_n\)，可以得到：
\[ \begin{aligned} a - \epsilon < y_n \leq x_n \leq z_n< a + \epsilon \\ | x_n -a | < \epsilon \end{aligned} \]
根據極限的定義，顯然可以得到數列\(\{x_n\}\)的極限也是a。
我們利用這個方法來看一個書上的例子，我們都知道當x趨向於0的時候，\(x\)和\(\sin x\)都趨向於0，但是\(\frac{\sin x}{x}\)的極限是多少呢？如果猜測一下，兩個無窮趨向於0的極限的比值應該是1才對，但是這個只是我們的直觀猜測，想要嚴格證明，還需要使用數學方法。
這個證明就用到了我們剛才說的夾逼法，並且非常巧妙，讓我們來看一張下面這張圖。
我們假設夾角\(\angle AOB=x\)，這裡採用弧度制。我們令圓心OB的長度等於1，那麼\(BC=\sin x\)，\(OC=\cos x\)，\(AD=\tan x\)。我們下面要用這張圖裡的幾何圖形的面積關係，顯然：
\(\triangle AOB\)的面積 < 扇形AOB的面積 < \(\triangle AOD\)的面積。
\(\triangle AOB\)的面積等於\(\frac{1}{2}*OA*BC=\frac{1}{2}\sin x\)，\(\triangle AOD\)的面積等於\(\frac{1}{2}*OA*AD=\frac{1}{2}\tan x\)。這兩個都很容易得出，直接套用三角形面積公式即可。扇形的面積看起來麻煩一些，但其實也很簡單，在幾何當中，扇形可以看成是特殊的三角形。我們把弧長看成是底面，半徑可以看成是高，那麼扇形的面積等於\(\frac{1}{2}*弧長*半徑\)。所以扇形AOB的面積等於\(\frac{1}{2}*x*1=\frac{1}{2}x\)。
我們列出來，可以得到：
\[\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x\]
即：
\[\sin x < x < \tan x\]
其中\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)，所以我們可以不等號兩邊同時除以\(\sin x\)，得到：
\[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\]
由於當x趨向於0的時候\(\sin x, \cos x\)都大於0，所以我們可以對不等式互換分子分母，得到：
\[\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\]
到這裡已經結束了，因為我們根據餘弦的函式影象可以很容易看出來，當x趨向於0的時候，cosx趨向於1.但為了嚴謹起見，我們當做不知道這點，繼續用數學的方法證明：
我們來計算當x趨向於0的時候，\(1 - \cos x\)的取值範圍，當x趨向於0的時候\(\cos x < 1\)，所以\(1 - \cos x > 0\)。我們再對\(1 - \cos x\)變形，這裡要引入三角函式當中的和差化積公式：
\[\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}\]
由於\(\cos 0 = 1\)，帶入和差化積可以得到：
\[\cos 0 - \cos x = -2 \sin \frac{x}{2}\sin -\frac{x}{2}=2\sin ^2 \frac{x}{2}\]
我們之前通過面積表示的方法已經證明了當x趨向於0的時候\(\sin x < x\)，所以\(2\sin ^2 \frac{x}{2} < 2 * (\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{2}\)。當x趨向於0的時候，顯然\(x^2\)也趨向於0，所以我們可以證明\(\cos x\)的極限是1.
換元法
我們接著來看換元法，學名是複合函式的極限運演算法則。定義如下：假設我們有\(y = f[g(x)]\)，我們令\(u = g(x)\)。如果\(\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=u_0, \lim_{u \to u_0}f(u)=A\)，並且在x趨向於\(x_0\)時，有\(g(x) \neq u_0\)，那麼：
\[\displaystyle\lim_{x \to x_0}f[g(x)]=\lim_{u \to u_0}g(u)=A\]
我們使用極限的定義同樣可以很方便地證明它的正確性，這裡就不證明了，感興趣的同學可以試著證明一下。
瞭解了符合函式的極限運演算法則之後，我們再來看一個例子鞏固一下。
和上面的例子類似，我們這次求一下:\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)。
和上面那題一樣，我們先使用和差化積對極限的分子進行變換，可以得到：
\[\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\]
如果通過極限本身的定義來計算這個式子還是蠻複雜的，很難直觀地獲得答案。這個時候就需要用上換元法了，我們令\(u = \frac{x}{2}\)，那麼這個極限就可以轉化成複合函式極限了。\(u=\frac{x}{2}, f(u)=\frac{\sin u}{u}\)。因為當x趨向於0的時候，u也趨向於0，當u趨向於0的時候，\(f(u)\)趨向於1，所以最終的極限就是1.
通過夾逼法和複合函式的極限替換公式，我們可以很方便地求解一些看起來比較棘手的極限。這也是我們求極限的過程當中使用非常頻繁的方法。雖然上文當中的公式看起來有些比較麻煩，但是方法本身並不難，只要沉下心來，一定可以看明白的。
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參考資料
同濟大學《高等數學》第六版
程式設計師的數學