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今天和大家回顧一下高數當中的微分中值定理，據說是很多高數公式的基礎。由於本人才疏學淺，所以對於這點沒有太深的認識。但是提出中值定理的幾個數學家倒是如雷貫耳，前段時間抽空研究了一下，發現很有意思，完全沒有想象中那麼枯燥。所以今天的文章和大家聊聊這個話題，我會跳過一些無關緊要或者意義不大的證明部分，儘量講得淺顯有趣一些。

費馬引理

首先上場的是費馬引理，它是我們介紹後面羅爾中值定理的前提。這個費馬引理非常簡單，不需要太多篇幅。所以在介紹它之前，先來講講費馬這個人。

費馬在數學屆大名鼎鼎，他最著名的理論是費馬大小定理。定理的內容我不講了，和這篇文章也沒啥關係。但是這背後有一段著名的故事，說是費馬在提出費馬大定理的時候並沒有覺得它有多麼出彩，因此沒有加以詳細的證明。有一天他在翻閱自己筆記本的時候突然靈感迸發想出了一個絕妙的證明方法。但是由於筆記本旁邊空白的區域太小，所以費馬這人就在書頁邊寫了一句話，他說：

我已發現一種絕妙的證明方法，可惜這裡空間太小，寫不下。

沒想到費馬不當回事的定理在日後的數學界非常重要，出人意料的是無數數學家嘗試證明費馬大定理的正確性，但是都沒有成功。雖然這個定理廣泛使用，大家也都覺得應該是正確的，但是就是沒有人能證明。這一度也稱為數學界的頂級難題，一直到1995年，據說也是靠著計算機提供了算力支撐，才終於得以證明。

關於費馬在書頁邊寫的絕妙解法，數學界也爭論不休。有些人扼腕嘆息，覺得是數學界一大損失。還有人覺得這不太靠譜，這可能不是靈感，而是錯覺。但無論如何，這也成就了費馬，也許他不是史上數學最強的人，但一定是”裝逼“最成功的的一個。

我們來看下來自費馬的凝視。

言歸正傳，我們來看下費馬引理。費馬引理很簡單，是說如果在一段曲線當中存在一個點\(x_0\)，使得在\(x_0\)的鄰域內都存在\(f(x) \leq f(x_0)\)（或\(f(x) \geq f(x_0)\)），那麼就說明\(f'(x_0)=0\)。

對導數熟悉的同學會發現，這其實就是把話倒著說。導數為0的點是極值點，既然是極值點顯然附近的點要麼都大於它或者都小於它。我們看下下圖就可以想明白。

證明的過程非常簡單，我們令\(\Delta x \to 0\)，那麼顯然\(f(x + \Delta x) \geq f(x_0), f(x - \Delta x) \leq f(x_0)\)，利用極限左右邊界相等，我們就可以證明它的正確性。

羅爾中值定理

羅爾中值定理是在費馬引理的基礎上做了一點引申，我們還是看上圖，在上圖當中A和B兩點的函式值相等。所以羅爾中值定理是，如果某個函式滿足：

1. 在閉區間[a, b]上連續
2. f(a) = f(b)
3. 在開區間(a, b)上可導

那麼，在區間(a, b)當中必然存在一個點\(x_0\)，使得\(f'(x_0)=0\)。

這個中值定理也很容易想明白，既然函式在兩個端點處值相等，那麼無論它是先減再增還是先增再減或者是不增不減，那麼顯然都會存在至少一個極值點，既然存在極值點，那麼根據費馬引理顯然就有導數為0的點。

拉格朗日中值定理

羅爾定理簡單易懂，但是有一個小問題就是限制條件太死，函式上不一定能找到兩個點相等。針對這個問題，大佬拉格朗日對這個公式進行了拓展。

他說，只要函式\(f(x)\)滿足：

1. 在閉區間[a, b]連續
2. 在開區間(a, b)可導

那麼就可以找到一個點\(\xi \in (a, b)\)使得：

\[f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)\]

這個式子這樣看起來非常恐怖，我們做一個變形：

\[f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

\(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)這個我們都非常熟悉，就是就是a和b兩點連線的斜率。而\(f'(\xi)\)則是函式在\(\xi\)這點的切線，從幾何角度上來看，說明存在一個點的切線和端點連線平行，我們可以對照下圖。

從定理上來看，如果a和b點的函式值相等，這個式子和羅爾定理完全一樣，也就是說羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。我們在證明羅爾定理的時候用到了費馬引理，那麼證明拉格朗日中值定理的時候能不能用上羅爾定理呢？

如果能用上當然很好，但是直接用是不行的，我們不能保證函式在a和b兩點處值相等。為了解決這個問題，需要引入一個輔助函式，和我們做幾何題的時候引入輔助線很像。老實講這個輔助函式是怎麼來的我一無所知，書本上也沒有記載。我們能確信的是它管用，它是正確的，但是它是怎麼來的，我們不清楚，也許是數學家的靈光一閃或者是天賦吧。

以前在學奧數的時候經常遇到這種情況，一個看起來巨複雜的式子，數學天才稍稍變形或者是引入一個輔助函式或者是定理，三下五除二就解決了。這當中每一步都看得懂，也能理解，但是就是不明白他是怎麼想到的，這個輔助函式就很典型。

廢話不多說，我們來看這個函式：

\[L(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\]

這個函式看起來很奇怪，但是它有一個巨牛的性質，就是它在a和b兩點的值相等並且等於0，到這裡就很簡單了，我們對這個巨牛的函式求導：

\[L'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

根據羅爾定理，我們可以找到一個點\(\xi \in (a, b)\)使得：

\[f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\]

所以就得證了，花裡胡哨，歎為觀止。但是到這裡還沒有結束，還有一個重頭戲沒有上場。

柯西中值定理

柯西中值定理的影象和拉格朗日的一模一樣，但是含義加深了一層。在我們之前的討論當中，我們畫的是y隨著x變化的函式曲線。但是有可能X軸本身也是一個函式。也就是說之前我們畫的是\(y = f(x)\)的影象，現在可能變成了\(Y = f(x), X = F(x)\)的影象，換句話說X軸和Y軸都是x的因變數，這裡的小寫的x成了一個引數。

在這樣的函式當中，某一點的切線的斜率成了: \(\frac{dY}{dX}=\frac{f'(x)}{F'(x)}\)。柯西中值定理正是作用於這樣的函式上，如果函式\(f, F\)滿足：

1. 在閉區間[a, b]上連續
2. 在開區間(a, b)上可導
3. 對於任意\(x \in (a, b), F'(x) \neq 0\)

那麼至少在(a, b)當中存在一點\(\xi\)，滿足：

\[\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\]

雖然這個公式看起來非常虎，但是證明方法和上面大同小異，我們引入一個基本上一樣的輔助函式：

\[L(x) = f(x) - f(a)-\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}[F(x) - F(b)]\]

證明方法也是一樣，可以發現這個輔助函式是滿足羅爾定理的，那麼我們對它求導，一模一樣的方法就可以得到證明。我這裡就不證了，意思不大。

如果我們整理一下上面幾個中值定理，會發現這是一個俄羅斯套娃，層層巢狀，但是它們研究的都是同樣一件事情。這些定理會在以後微積分的章節派上用場，現在讓我們先有個印象即可。

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