## 前言 最近明顯文章更新頻率降低了，那是因為我在惡補資料結構和演算法的相關知識，相當於是從零開始學習。 找了很多視訊和資料，最後發現 b 站尚矽谷的視訊教程還是相對不錯的，總共 195 集。每個小節都是按先概念、原理，然後程式碼實現的步驟講解。如果你也準備入門資料結構和演算法，我推薦可以看下這個系列教程。  昨天一天一下子肝了 40 多集，從樹的後半部分到圖的全部部分。可以看到，每一集其實時間也不算長，短的幾分鐘，長的也就半個小時。開 2 倍速看，倍兒爽。 話不多說，下面進入正題。 ## 二叉堆介紹 我們知道，樹有很多種，最常用的就是二叉樹了。二叉樹又有滿二叉樹和完全二叉樹。而二叉堆，就是基於完全二叉樹的一種資料結構。它有以下兩個特性。 1. 首先它是一個完全二叉樹 2. 其次，堆中的任意一個父節點的值都大於等於（或小於）它的左右孩子節點。 因此，根據第二個特性，就把二叉堆分為大頂堆（或叫最大堆），和小頂堆（或叫最小堆）。 顧名思義，大頂堆，就是父節點大於等於左右孩子節點的堆，小頂堆就是父節點小於左右孩子節點的堆。 看一下大頂堆的示例圖，小頂堆類似，只不過是小值在上而已。  注意：大頂堆只保證父節點大於左右孩子節點的值，不需要保證左右孩子節點之間的大小順序。如圖中，7 的左子節點 6 比右子節點 1 大，而 8 的左子節點 4 卻比右子節點 5 小。（小頂堆同理） ## 構建二叉堆 二叉堆的定義我們知道了，那麼給你一個無序的完全二叉樹，怎麼把它構建成二叉堆呢？ 我們以大頂堆為例。給定以下一個陣列，（完全二叉樹一般用陣列來儲存） ``` {4, 1, 9, 3, 7, 8, 5, 6, 2} ``` 我們畫出它的初始狀態，然後分析怎麼一步一步構建成大頂堆。  由於大頂堆，父節點的值都大於左右孩子節點，所以樹的根節點肯定是所有節點中值最大的。因此，我們需要從樹的最後一層開始，逐漸的把大值向上調整（左右孩子節點中較大的節點和父節點交換），直到第一層。 其實，更具體的說，應該是從下面的非葉子節點開始調整。想一想，為什麼。 反向思考一下，如果從第一層開始調整的話，例如圖中就是 4 和 9 交換位置之後，你不能保證 9 就是所有節點的最大值（額，圖中的例子可能不是太好，正好是 9 最大）。如果下邊還有比 9 大的數字，你最終還是需要從下面向上遍歷調整。那麼，我還不如一開始就直接從下向上調整呢。 另外，為什麼從從最下面的非葉子節點（圖中節點 3 ）開始。因為葉子節點的下面已經沒有子節點了，它只能和父節點比較，從葉子節點開始沒有意義。 第一步，以 3 為父節點開始，比較他們的子節點 6和 2 ，6最大，然後和 3 交換位置。  第二步，6 和 7 比較，7 最大，7 和 1 交換位置。  第三步，7 和 9 比較，9 最大，9 和 4 交換位置。  第四步，我們發現交換位置之後，4 下邊還有比它大的，因此還需要以 4 為父節點和它的左右子節點進行比較。發現 8 最大，然後 8 和 4 交換位置。  最終，實現了一個大頂堆的構建。下面以程式碼實現交換過程。 ``` /** * 調整為大頂堆 * @param arr 待調整的陣列 * @param parent 當前父節點的下標 * @param length 需要對多少個元素進行調整 */ private static void adjustHeap(int[] arr, int parent, int length){ //臨時儲存父節點 int temp = arr[parent]; //左子節點的下標 int child = 2 * parent + 1; //如果子節點的下標大於等於當前需要比較的元素個數，則結束迴圈 while(child < length){ //判斷左子節點和右子節點的大小,若右邊大，則把child定位到右邊 if(child + 1 < length && arr[child] < arr[child + 1]){ child ++; } //若child大於父節點，則交換位置，否則退出迴圈 if(arr[child] > temp){ //父子節點交換位置 arr[parent] = arr[child]; //因為交換位置之後，不能保證當前的子節點是它子樹的最大值，所以需要繼續向下比較， //把當前子節點設定為下次迴圈的父節點，同時，找到它的左子節點，繼續下次迴圈 parent = child; child = 2 * parent + 1; }else{ //如果當前子節點小於等於父節點，則說明此時的父節點已經是最大值了， //因此無需繼續迴圈 break; } } //把當前節點值替換為最開始暫存的父節點值 arr[parent] = temp; } public static void main(String[] args) { int[] arr = {4,1,9,3,7,8,5,6,2}; //構建一個大頂堆，從最下面的非葉子節點開始向上遍歷 for (int i = arr.length/2 - 1 ; i >= 0; i--) { adjustHeap(arr,i,arr.length); } System.out.println(Arrays.toString(arr)); } //列印結果： [9, 7, 8, 6, 1, 4, 5, 3, 2]。 和我們分析的結果一模一樣 ``` 在 while 迴圈中，if(arr[child] > temp) else的邏輯， 對應的就是圖中的第三步和第四步。即需要確保，交換後的子節點要比它下邊的孩子節點都大，不然需要繼續迴圈，調整位置。 ## 堆排序 堆排序就是利用大頂堆或者小頂堆的特性來進行排序的。 它的基本思想就是： 1. 把當前陣列構建成一個大頂堆。 2. 此時，根節點肯定是所有節點中最大的值，讓它和末尾元素交換位置，則最後一個元素就是最大值。 3. 把剩餘的 n - 1個元素重新構建成一個大頂堆，就會得到 n-1 個元素中的最大值。重複執行此動作，就會把所有的元素調整為有序了。 **步驟：** 還是以上邊的陣列為例，看一下堆排序的過程。 一共有九個元素，把它調整為大頂堆，然後把堆頂元素 9 和末尾元素 2 交換位置。  此時，9已經有序了，不需要調整。然後把剩餘八個元素調整為大頂堆，再把這八個元素的堆頂元素和末尾元素交換位置，如下，8 和 3 交換位置。  此時，8和 9 已經有序了，不需要調整。然後把剩餘七個元素調整為大頂堆，再把這七個元素的堆頂元素和末尾元素交換位置。如下， 7 和 2 交換位置。  以此類推，經過 n - 1 次迴圈調整，到了最後只剩下一個元素的時候，就不需要再比較了，因為它已經是最小值了。  看起來好像過程很複雜，但其實是非常高效的。沒有增刪，直接在原來的陣列上修改就可以。因為我們知道陣列的增刪是比較慢的，每次刪除，插入元素，都要移動陣列後邊的 n 個元素。此外，也不佔用額外的空間。 程式碼實現： ``` //堆排序，大頂堆，升序 private static void heapSort(int[] arr){ //構建一個大頂堆，從最下面的非葉子節點開始向上遍歷 for (int i = arr.length/2 - 1 ; i >= 0; i--) { adjustHeap(arr,i,arr.length); } System.out.println(Arrays.toString(arr)); //迴圈執行以下操作：1.交換堆頂元素和末尾元素 2.重新調整為大頂堆 for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) { //將堆頂最大的元素與末尾元素互換，則陣列中最後的元素變為最大值 int temp = arr[i]; arr[i] = arr[0]; arr[0] = temp; //從堆頂開始重新調整結構，使之成為大頂堆 // i代表當前陣列需要調整的元素個數，是逐漸遞減的 adjustHeap(arr,0,i); } } ``` **時間複雜度和空間複雜度：** 堆排序，每次調整為大頂堆的時間複雜度為 O(logn)，而 n 個元素，總共需要迴圈調整 n-1 次 ，所以堆排序的時間複雜度就是 O(nlogn)。它的數學推導比較複雜，感興趣的同學可以自己檢視相關資料。 由於沒有佔用額外的記憶體空間，因此，堆排序的空間複雜度為