計算機二進位制中的原碼，反碼，補碼

阿新 • • 發佈：2020-11-23

> **公號：碼農充電站pro** > **主頁：** 計算機最基本的工作是處理資料，而資料的最底層表現形式是二進位制，並非是我們人類熟悉的十進位制。可以這麼認為，計算機其實是很“笨的”，它只理解二進位制資料。今天，主要介紹計算機是怎樣做加減運算的。你可能會想，加減運算？這麼簡單的事情，還用介紹？也許還真不是你想的那樣。計算機的運算是由CPU 完成的，而CPU 只會做加法運算，不會做減法運算，那計算機怎樣完成減法工作呢？ ### 1，二進位制數我們先來看看二進位制數。二進位制數是由0，1 組成的，比如： - 十進位制的5，用二進位制表示是 101。 - 十進位制的7，用二進位制表示是 111。數字由正數和負陣列成。為了表示正負數，計算機中就有了**有符號數**和**無符號數**之分： - 無符號數：英文為 `unsigned`，只能表示正數。 - 有符號數：英文為`signed`，即能表示正數，又能表示負數。 >

**C/C++** 語言中的數字有**有符號數**和**無符號數**之分。 > **Java** 語言所有的數字都是**有符號數**。假如，我們用 4 位二進位制，來表示無符號數，也就是隻表示正數，能表示的範圍是 `0 到 15`，轉換關係如下表： | 十進位制數 | 二進位制數 |十進位制數 | 二進位制數 | |--|--|--|--| | 0 | 0000 |8 | 1000 | | 1 | 0001 |9 | 1001 | | 2 | 0010 |10 | 1010 | | 3 | 0011 |11 | 1011 | | 4 | 0100 |12 | 1100 | | 5 | 0101 |13 | 1101 | | 6 | 0110 |14 | 1110 | | 7 | 0111 |15 | 1111 | 有符號數，即要表示正數，也要表示負數。要用二進位制表示有符號數，需要用二進位制的**最高位**來表示符號，`0` 表示`正`，`1` 表示`負`。所謂的最高位，也就是最左邊那一位。用 4 位二進位制，來表示有符號數，能表示的範圍是 `-8 到 7`，轉換關係如下表： | 十進位制數 | 二進位制數 |十進位制數 | 二進位制數 | |--|--|--|--| | 0 | `0`000 |**-8** | **`1`000** | | 1 | `0`001 |-1 | `1`001 | | 2 | `0`010 |-2 | `1`010 | | 3 | `0`011 |-3 | `1`011 | | 4 | `0`100 |-4 | `1`100 | | 5 | `0`101 |-5 | `1`101 | | 6 | `0`110 |-6 | `1`110 | | 7 | `0`111 |-7 | `1`111 | 上表中的最高位的符號位，已標紅。 >

要注意，對於有符號的4 位二進位制 ----`1000` 不是 `-0`，而是 `-8`。可以總結出，對於`N` 位的二進位制數： - 無論是表示**有符號數**還是**無符號數**，都能表示`2^N` 個數字。 - 若用於表示**無符號數**，則能表示的範圍是 `[0, 2^N - 1]`。 - 若用於表示**有符號數**，則能表示的範圍是 `[-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]`。 - **需要注意**，在有符號數中，對於符號位是 `1`，後面 `N-1` 位全是 `0`，這種情況表示的是 `-2^(N-1)`(也就是所能表示的最小值)，而不是 `-0`。 - 實際上是將`-0` 這種情況解釋成了`最小值`，否則就會出現 `+0` 和 `-0` 兩個`0`。 ### 2，二進位制原碼上面介紹到的二進位制就是原碼形式。 **原碼就是除符號位外的其他位，儲存該二進位制數的絕對值。** ***用原碼進行加法計算*** 計算機中的數字運算都會先轉成二進位制數再進行計算。我們用原碼來計算加法，用4 位二進位制數來計算 `3 + 2`，過程如下： ![在這裡插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20201121115329554.png?#pic_center) 可以看到，用原碼計算加法是沒有問題的。 ***用原碼進行減法計算*** 我們再用原碼來計算減法，因為CPU 只會計算加法，所以計算減法時，會將減法轉換成加法。比如，用4 位二進位制數來計算計算 `3 - 2`，會將其轉換成 `3 + (-2)`，過程如下： ![在這裡插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20201121120031179.png?#pic_center) 可以看到 `3-2` 計算出來的結果是 `-5`，顯然是錯誤的。所以，用二進位制原碼來計算減法是行不通的。實際上，計算機計算減法用的是**補碼**。在介紹補碼之前，我們先來看下什麼是**溢位**。 ### 3，數字溢位計算機中數字的表示是需要記憶體空間的，不同型別的數字所能佔用的空間是不一樣的。比如，在Java 語言中`short` 型別佔用 2 個位元組，`int` 型別佔用 4 個位元組。 >

一個位元組等於 8 位。既然空間大小是有限制的，所以計算機中的數字也是有範圍的，即**上限**和**下限**，如果數字超出限制，就會產生**溢位**。超出上限叫**上溢位**，超出下限叫**下溢位**。***而溢位的部分會直接被捨去***。就像我們在上文中介紹的，對於`N` 位二進位制**有符號整數**，所能表示的範圍是 `[-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]`。由於溢位的部分會被捨去，那麼最大值加1，將發生上溢位，變為最小值；最小值減1，將發生下溢位，變為最大值。 ![在這裡插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20201121124424444.png?#pic_center) 我們用**Java** 中的`int` 型別來驗證，**Java** 中`int` 型別的最大、最小值分別是： - 最大值：`Integer.MAX_VALUE`，是 `2147483647`。 - 最小值：`Integer.MIN_VALUE`，是 `-2147483648`。用下面程式碼驗證： ```java System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 1 == Integer.MIN_VALUE); // true System.out.println(Integer.MIN_VALUE - 1 == Integer.MAX_VALUE); // true ``` 這兩行程式碼的輸出均為`true`，說明最大值加1 變為最小值，最小值減1 變為最大值。所以，在計算機中，只要一個整數的型別確定了，那麼它所能佔用的記憶體空間大小也就確定了，從而它所能表示的數字範圍也就確定了。那麼不管給這個整數加多大的數字，或者減多大的數字，最終的結果都只能在這個範圍內旋轉。就像錶盤一樣，當錶針走過最大值的時候，就變成了最小值。 ![在這裡插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20201121125009922.png?#pic_center) 同樣，這也等同於數學中的**取餘**運算。只要分母確定了，不管分子是多大，或者多小的數字，最終的結果也都是在一個確定的範圍之內。比如我們對十進位制`5` 進行**取餘**計算，那麼最終的結果都是在`[0, 4]` 範圍之內，如下： - `0 % 5 = 0` - `2 % 5 = 2` - `397 % 5 = 2` - `99999 % 5 = 4` 可以總結出，對數字`N` 進行取餘，`N >= 2` 且為整數，那麼結果都在 `[0, N-1]` 範圍之內。 ### 4，二進位制反碼與補碼知道了**溢位**，就可以介紹CPU 如何計算減法了。CPU 的減法運算使用了二進位制補碼，補碼實際上就是採用了**溢位**的原理。我們直接給出**反碼與補碼**的定義： - 反碼定義：**正數的反碼等於其原碼，負數的反碼是其原碼除符號位外，按位取反。** - 補碼定義：**正數的補碼等於其原碼，負數的補碼是其反碼加1。** 比如下面的幾個數字： | 十進位制數 | 2 | 3 | -2 |-5 | |--|--|--|--|--| | **二進位制原碼** | **0010** | **0011** | **`1`010** | **`1`101** | | **二進位制反碼** | **0010** | **0011** | **`1`101** | **`1`010** | | **二進位制補碼** |**0010** | **0011** | **`1`110** |**`1`011** 我們用`4` 位二進位制補碼來計算 `3+(-2)`，如下： ![在這裡插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20201121215718758.png?#pic_center) 最高位的`1` 發生上溢位，直接被捨去，所以結果是正確的。所以，要記住，**真實的計算機中的二進位制是用補碼錶示的，而不是原碼**。 ### 5，總結本篇文章主要介紹了： - CPU 只能做加法，不能做減法，減法要轉成加法做計算。 - 二進位制數字有三種表示方式： - 原碼：除符號位外的其他位，儲存該二進位制數的絕對值。 - 反碼：正數的反碼等於其原碼，負數的反碼是其原碼除符號位外，按位取反。 - 補碼：正數的補碼等於其原碼，負數的補碼是其反碼加1。 - 計算機中的數字採用二進位制補碼錶示，而不是原碼錶示。 - 補碼採用了溢位的原理。 - 計算機中的數字是有範圍限制的，超出限制會發生溢位。 - 超出上限叫做上溢位。最大值加1會發生上溢位，變為最小值。 - 超出下限叫做下溢位。最小值減1會發生下溢位，變為最大值。（本節完。） --- **推薦閱讀：** [***決策樹演算法-理論篇***](https://www.cnblogs.com/codeshell/p/13948083.html) [***決策樹演算法-實戰篇***](https://www.cnblogs.com/codeshell/p/13984334.html) [***樸素貝葉斯分類-理論篇***](https://www.cnblogs.com/codeshell/p/13999440.html) [***設計模式之高質量程式碼***](https://www.cnblogs.com/codeshell/p/13968620.html) [***如何高效使用VIM***](https://www.cnblogs.com/codeshell/p/12726516.html) --- 歡迎關注作者公眾號，獲取更多技術乾貨。 ![碼農充電站pro](https://img-blog.csdnimg.cn/20200505082843773.png?#pic

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