本文從原碼講起。通過簡述原碼，反碼和補碼存在的作用，加深對補碼的認識。力爭讓你對補碼的概念不再局限於：負數的補碼等於反碼加一。

接觸過計算機或電子信息相關課程的同學，應該都或多或少看過補碼這哥仨。每次都是在課本的最前幾頁，來上這麽一段：什麽反碼是原碼除符號位，按位取反。補碼等於反碼加一。然後給整得莫名其妙，稀裏糊塗地，接著就是翻頁，反正後面的內容也跟三碼沒多大關系。

我原來也是看了好幾遍都沒看懂。古人雲：事不過三。學C語言的時候，看過一次。不懂？看《計算機基本組成原理》的時候看過，還是不懂！到了大三，上《單片微機原理與接口技術》的時候仍舊是不懂。到了期末，復習的時候，和宿舍的人瞎聊。說講講這些碼呀，我說我也不是很清楚呀。然後就一邊說怎麽求碼，一邊算。玩著玩著，突然就明白了。我說好，打住。不說了，放假我在好好整理下思路，於是就有了這篇額。。算討論帖吧。

好了，廢話不多說。開始我們的原碼，反碼，補碼之旅。

（一）預備知識

認識二進制，十六進制。會二進制與十進制的相互轉化運算

由計算機的硬件決定，任何存儲於計算機中的數據，其本質都是以二進制碼存儲。

根據馮~諾依曼提出的經典計算機體系結構框架。一臺計算機由運算器，控制器，存儲器，輸入和輸出設備組成。其中運算器，只有加法運算器，沒有減法運算器（據說一開始是有的，後來由於減法器硬件開銷太大，被廢了 ）

所以，計算機中的沒法直接做減法的，它的減法是通過加法來實現的。你也許會說，現實世界中所有的減法也可以當成加法的，減去一個數，可以看作加上這個數的相反數。當然沒錯，但是前提是要先有負數的概念。這就為什麽不得不引入一個該死的符號位。

而且從硬件的角度上看，只有正數加負數才算減法。
正數與正數相加，負數與負數相加，其實都可以通過加法器直接相加。

原碼，反碼，補碼的產生過程，就是為了解決，計算機做減法和引入符號位（正號和負號）的問題。

本文可能比較長，沒必要一下子讀完。原碼，反碼，補碼，按章讀。
重點在於講補碼，到了補碼可能有些繞，建議帶著筆，寫出二進制數一起算。

表達可能不夠清楚嚴謹，望見諒。
（二）原碼

原碼：是最簡單的機器數表示法。用最高位表示符號位，‘1’表示負號，‘0’表示正號。其他位存放該數的二進制的絕對值。

若以帶符號位的四位二進值數為例

 1010  ： 最高位為‘1’,表示這是一個負數，其他三位為‘010’，
      即（0*2^2）+（1*2^1）+（0*2^0）=2（‘^’表示冪運算符）
      所以1010表示十進制數（-2）。
 

下圖給出部份正負數數的二進制原碼表示法

OK，原碼表示法很簡單有沒有，雖然出現了+0和-0，但是直觀易懂。
於是，我們高興的開始運算。

0001+0010=0011    （1+2=3）OK
0000+1000=1000    （+0+（-0）=-0） 額，問題不大
0001+1001=1010    （1+（-1）=-2）

噢，1+（-1）=-2，這仿佛是在逗我呢。

於是我們可以看到其實正數之間的加法通常是不會出錯的，因為它就是一個很簡單的二進制加法。

而正數與負數相加，或負數與負數相加，就要引起莫名其妙的結果，這都是該死的符號位引起的。0分為+0和-0也是因他而起。

所以原碼，雖然直觀易懂，易於正值轉換。但用來實現加減法的話，運算規則總歸是太復雜。於是反碼來了。

（三）反碼

我們知道，原碼最大的問題就在於一個數加上他的相反數不等於零。

例如：0001+1001=1010 (1+(-1)=-2) 0010+1010=1100 (2+(-2)=-4)

於是反碼的設計思想就是沖著解決這一點，既然一個負數是一個正數的相反數，那我們幹脆用一個正數按位取反來表示負數試試。

反碼：正數的反碼還是等於原碼

負數的反碼就是他的原碼除符號位外，按位取反。

若以帶符號位的四位二進制數為例：

3是正數，反碼與原碼相同，則可以表示為0011
-3的原碼是1011，符號位保持不變，低三位（011）按位取反得（100）
所以-3的反碼為1100

下圖給出部分正負數的二進制數反碼表示法

對著上圖，我們再試著用反碼的方式解決一下原碼的問題

0001+1110=1111 （1+（-1）= - 0）

互為相反數相加等於0，解決。雖然是得到的結果是1111也就是-0

好，我們再試著做一下兩個負數相加

1110（-1）+1101（-2）=1011（-4）

噢，好像又出現了新問題

（-1）+（-2）=（-4）?

不過好像問題不大，因為1011（是-4的反碼，但是從原碼來看，他其實是-3。巧合嗎？）

我們再看個例子吧

1110（-1）+1100（-3）=1010（-5）

確實是巧合，看來相反數問題是解決了，但是卻讓兩個負數相加的出錯了。

但是實際上，兩個負數相加出錯其實問題不大。我們回頭想想我們的目的是什麽？是解決做減法的問題，把減法當成加法來算。

兩個正數相加和兩個負數相加，其實都是一個加法問題，只是有無符號位罷了。而正數+負數才是真正的減法問題。

也就是說只要正數+負數不會出錯，那麽就沒問題了。負數加負數出錯沒關系的，負數的本質就是正數加上一個符號位而已。

在原碼表示法中兩個負數相加，其實在不溢出的情況下結果就只有符號位出錯而已（1001+1010=0011）

反碼的負數相加出錯，其實問題不大。我們只需要加實現兩個負數加法時，將兩個負數反碼包括符號位全部按位取反相加，然後再給他的符號位強行置‘1’就可以了。

所以反碼表示法其實已經解決了減法的問題，他不僅不會像原碼那樣出現兩個相反數相加不為零的情況，而且對於任意的一個正數加負數，如：
0001（1）+1101（-2）=1110（-1） 計算結果是正確的。所以反碼與原碼比較，最大的優點，就在於解決了減法的問題。

但是我們還是不滿足為什麽 0001+1110=1111 （1+（-1）=-0） 為什麽是-0呢

而且雖然說兩個負數相加問題不大，但是問題不大，也是問題呀。好吧，處女座。接下來就介紹我們的大boss補碼。

（四）補碼

補碼：正數的補碼等於他的原碼
負數的補碼等於反碼+1。
（這只是一種算補碼的方式，多數書對於補碼就是這句話）

在《計算機組成原理中》，補碼的另外一種算法 是

負數的補碼等於他的原碼自低位向高位，尾數的第一個‘1’及其右邊的‘0’保持不變，左邊的各位按位取反，符號位不變。

OK，補碼就講完了。再見！！

還是莫名其妙有沒有，為什麽補碼等於反碼加1，為什麽自低位向高位取反……………….?

其實上面那兩段話，都只是補碼的求法，而不是補碼的定義。很多人以為求補碼就要先求反碼，其實並不是。

那些雞賊的計算機學家，並不會心血來潮的把反碼+1就定義為補碼。只不過是補碼正好就等於反碼加1罷了。

所以，忘記那些書上那句負數的補碼等於它的反碼+1。就這句話把我們帶入了理解的誤區。

這就是後來我明白為什麽我看的那本《計算機組成原理》，要特意先講補碼，再講反碼。

然後說負數的補碼等於他的原碼自低位向高位，尾數的第一個‘1’及其右邊的‘0’保持不變，左邊的各位按位取反，符號位不變。

但是上面這句話，同樣不是補碼的定義，它只是補碼的另外一種求法。它的存在，告訴我們忘記那句該死的‘反碼+1’它並不是必須的。

如果你有興趣了解，補碼的嚴格說法，我建議你可以看一下《計算機組成原理》。它會用‘模’和‘同余’的概念，嚴謹地解釋補碼。

接下來我只想聊聊補碼的思想。

(五)補碼的思想

補碼的思想，第一次見可能會覺得很繞，但是如果你肯停下來仔細想想，絕對會覺得非常美妙。

補碼的思想其實就來自於生活，只是我們沒註意到而已。時鐘，經緯度，《易經》裏的八卦。

補碼的思想其實就類似於生活中的時鐘

好吧，我其實不想用類似，好像這種詞，因為類比的，終究不是事物本身。而且不嚴謹會讓我懷疑我不是工科僧，說得好像我嚴謹過似的，哈哈

如果說現在時針現在停在10點鐘，那麽什麽時候時針會停在八點鐘呢？

簡單，過去隔兩個小時的時候，是八點鐘。未來過十個小時的時候也是八點鐘

也就是說時間正撥10小時，或是倒撥2小時都是八點鐘。

也就是10-2=8，而且 10+10=8（10+10=10+2+8=12+8=8）

這個時候滿12說明時針在走第二圈了，又走了8小時，所以時針正好又停在八點鐘。

所以12在時鐘運算中，稱之為模，超過了12就會重新從1開始算了。

也就是說， 10-2和10+10從另一個角度來看是等效的，它都使時針指向了八點鐘。

既然是等效的，那在時鐘運算中，減去一個數，其實就相當於加上另外一個數（這個數與減數相加正好等於12，也稱為同余數）

這就是補碼所謂模運算思想的生活例子

在這裏，我們再次強調原碼，反碼，補碼的引入是為了解決做減法的問題。在原碼，反碼表示法中，我們把減法化為加法的思維是減去一個數，等於加上一個數的相反數，結果發現引入了符號位，卻因為符號位造成了各種意向不到的問題。

但是從上面的例子中，我們可以看到其實減去一個數，對於數值有限制，有溢出的運算（模運算）來說，其實也相當於加上這個數的同余數。

也就是說，我們不引入負數的概念，就可以把減法當成加法來算。所以接下來我們聊4位二進制數的運算，也不必急於引入符號位。因為補碼的思想，把減法當成加法時並不是必須要引入符號位的。

而且我們可以通過下面的例子，也許能回答另一個問題，為什麽負數的符號位是‘1’，而不是正數的符號位是‘1’。

(六)補碼實例

好吧，接下來我們就做一做四位二進制數的減法吧（先不引入符號位）

0110（6）-0010（2）【6-2=4，但是由於計算機中沒有減法器，我們沒法算】

這個時候，我們想想時鐘運算中，減去一個數，是可以等同於加上另外一個正數（同余數）

那麽這個數是什麽呢？從時鐘運算中我們可以看出這個數與減數相加正好等於模。

那麽四位二進制數的模是多少呢？也就是說四位二進制數最大容量是多少？其實就是2^4=16=10000B

那麽2的同余數，就等於10000-0010=1110（14）

既然如此

0110（6）-0010（2）=0110（6）+1110（14)=10100（20=16+4）

OK，我們看到按照這種算法得出的結果是10100，但是對於四位二進制數，最大只能存放4位（硬件決定了），如果我們低四位，正好是0100（4），正好是我們想要的結果，至於最高位的‘1’，計算機會把他放入psw寄存器進位位中。8位機則會放在cy中，x86會放在cf中（這個我們不作討論）

這個時候，我們再想想在四位二進制數中，減去2，就相當於加上它的同余數14（至於它們為什麽同余，還是建議看《計算機組成原理》）

但是減去2，從另外一個角度來說，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其實得到的二進制結果除了進位位，結果是一樣的。

如果我們把1110（14）的最高位看作符號位後就是（-2）的補碼，這可能也是為什麽負數的符號位是‘1’而不是‘0’，

而且在有符號位的四位二進制數中，能表示的只有‘-8~7’，而無符號位數（14）的作用和有符號數（-2）的作用效果其實是一樣的。

那正數的補碼呢？加上一個正數，加法器就直接可以實現。所以它的補碼就還是它本身。

下圖給出帶符號位四位二進制的補碼表示法

到這裏，我們發現原碼，反碼的問題，補碼基本解決了。

在補碼中也不存在負零了，因為1000表示-8

這是因為根據上面的補碼圖，做減法時，0001（1）+1111（-1）=0000
我們再也不需要一個1000來表示負0了，就把它規定為-8

負數與負數相加的問題也解決了1111（-1）+1110（-2）=1101(-3)

可能說得有點繞，但是實在是沒辦法。其實我覺得補碼還可以這樣畫。

很優美有沒有，如果你想想地理課本，0不就相當於本初子午線，-8不就是180°，而正數相當於西經，負數相當於東經。

(七)為何這樣求補碼

然後我們再來看看為什麽負數的補碼的求法為什麽是反碼+1

因為負數的反碼加上這個負數的絕對值正好等於1111，再加1，就是1000，也就是四位二進數的模

而負數的補碼是它的絕對值的同余數，可以通過模減去負數的絕對值，得到他的補碼。

所以 負數的補碼就是它的補碼+1。

有點繞吧，只能說很難算清楚，你們還是自己算算吧。還有上面我提到的另外一種算法。

接下來，我要說一下我自己算補碼的小技巧。

看上面那個圖。

如果我們把-8當成負數的原點。那麽-5的補碼是多少呢？

-5=-8+3

-5的補碼就是-8的補碼加3

1000（-8） +0011（3）=1011(-5)

所以完全可以口算出-5的補碼是1011

當然，也可以記住-1的補碼是1111口算減法得出

對於八位加法器的話，可以把-128當補碼原點。十六位可以把-32768當補碼原點。

是的，128是256（八位二進制數的模）的一半，32768是65536（十六位二進數的模）的一半

也很方便有沒有，而且簡單的是

補碼原點總是最高位是‘1’，其他位是‘0’

所以做加法總是簡單得可以口算。

OK，原碼，反碼，補碼之旅就到這裏結束。補碼第一次看總會覺得很繞，想言簡意賅，就怕哪裏遺漏了。講得細致，又不免連自己都覺得啰裏啰嗦。謝觀！

原碼，反碼，補碼雜談