小朋友學經典演算法（14）：回溯法和八皇后問題
一、回溯法
回溯法（探索與回溯法）是一種選優搜尋法，又稱為試探法，按選優條件向前搜尋，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為“回溯點”。
二、八皇后問題
（一）問題描述
1.png
在國際象棋中，皇后是最強大的一枚棋子，可以吃掉與其在同一行、列和斜線的敵方棋子。比中國象棋裡的車強幾百倍，比她那沒用的老公更是強的飛起（國王只能前後左右斜線走一格）。
八皇后問題是這樣一個問題：將八個皇后擺在一張8*8的國際象棋棋盤上，使每個皇后都無法吃掉別的皇后，一共有多少種擺法？
八皇后問題，是一個古老而著名的問題，是回溯演算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出。高斯認為有76種方案。1854年在柏林的象棋雜誌上不同的作者發表了40種不同的解，後來有人用圖論的方法解出92種結果。計算機發明後，有多種計算機語言可以解決此問題。
（二）分析過程
為了使問題簡化，假定國王與四位皇后離了婚，那麼只剩下四位皇后了。八皇后問題就變成了四皇后問題。
2.png
在第一行放1號皇后。第一行的四個格子都可以放。按列舉的習慣，先放在第一個格子。如下圖所示。黑色的格子不能放其他的皇后。
3.png
在第二行放2號皇后，只能放在第三個或第四個格子。按列舉的習慣，先放在第三個格子，如下圖所示。
4.png
不好了，前兩位皇后沆瀣一氣，已經把第三行全部鎖死了，第三位皇后無論放哪裡都難逃被吃掉的厄運。於是在第一個皇后位於1號，第二個皇后位於3號的情況下問題無解。我們只能返回上一步來，給2號皇后換個位置，挪到第四個格子上。
5.png
顯然，第三個皇后只有一個位置可選。當第三個皇后佔據第三行藍色空位時，第四行皇后無路可走，於是發生錯誤，返回上層挪動3號皇后，而3號也別無可去，繼續返回上層挪動2號皇后，2號已然無路可去，繼續返回上層挪動1號皇后。於是1號皇后改變位置如下，繼續搜尋。
6.png
分析到這裡，想必小朋友們對“回溯法”已經有了基本概念。下面要將演算法實現出來。
（三）程式碼實現
01 void queen(int row)
02 {
03if(row==n)
04total++;
05else
06for(int col=0;col!=n;col++)
07{
08c[row]=col;
09if(is_ok(row))
10queen(row+1);
11}
12 }
演算法是逐行安排皇后的，其引數row為現在正執行到第幾行。n是皇后數，在八皇后問題裡當然就是8啦。
第4行好理解，如果程式當前能正常執行到第8行，那自然是找到了一種解法，於是八皇后問題解法數加1。
如果當前還沒排到第八行，則進入else語句。遍歷所有列col，將當前col儲存在陣列c裡，然後使用is_ok()檢查row行col列能不能擺皇后，若能擺皇后，則遞迴呼叫queen去安排下一列擺皇后的問題。
還不太清楚？再慢點來，剛開始的時候row=0，意思是要對第0行擺皇后了。
If判斷失敗，進入else，進入for迴圈，col初始化為0
顯然，0行0列的位置一定可以擺皇后的，因為這是第一個皇后啊，後宮空蕩她想怎麼折騰就怎麼折騰，於是is_ok(0)測試成功，遞迴呼叫queen(1)安排第1行的皇后問題。
第1行時row=1，進來if依然測試失敗，進入for迴圈，col初始化為0。1行0列顯然是不能擺皇后的，因為0行0列已經有一個聖母皇太后在那擱著了，於是is_ok()測試失敗，迴圈什麼也不做空轉一圈，col變為1。1行1列依然is_ok()測試失敗，一直到1行2列，發現可以擺皇后，於是繼續遞迴queen(2)去安排第二個皇后位置。
如果在某種情況下問題無解呢？例如前面在4皇后問題中，0行0列擺皇后是無解的。假設前面遞迴到queen(2)時候，發現第2行沒有地方可以擺皇后，那怎麼辦呢？要注意queen(2)的呼叫是在queen(1)的for迴圈框架內的，queen(2)若無解，則自然而然queen(1)的for迴圈col自加1，即將第1行的皇后從1行2列改為1行3列的位置，檢查可否放皇后後繼續安排下一行的皇后。如此遞迴，當queen(0)的col自加到7，說明第一列的皇后已經遍歷了從0行1列到0行7列，此時for迴圈結束，程式退出。
在主函式中呼叫queen(0)，得到正確結果，8皇后問題一共有92種解法。
這裡再看一下is_ok函式：
bool is_ok(int row)
{
for(int j=0;j!=row;j++)
{
if(c[row]==c[j] || row-c[row]==j-c[j] || row+c[row]==j+c[j])
return false;
}
return true;
}
這裡row表示當前的行。假定當前的行為第3行（從0開始計數）。那麼for迴圈裡，j = 0表示第0行，j = 1表示第1行，j = 2表示第2行。
c[row]表示第row行所在的列。比如c[3] = 2表示第三行第2列。c[0] = 2表示第0行第2列等。
c[row] == c[j]表示第row行和第j行（j < row）的列一樣，這樣兩個皇后就衝突了，所以返回false。
row - c[row] == j - c[j]，表示row行c[row]列與j行c[j]列，在同一條斜率為負的斜線上。這樣兩個皇后也衝突了。以下圖為例
7.png
例1：
A格子，j = 0, c[j] = c[0] = 0，即第0行第0列。C格子，row = 2, c[row] = c[2] = 2, 即第2行第2列。row - c[row] == j - c[j]，表示這兩個格子在一條斜線上，返回false。
例2：
B格子，j = 1, c[j] = c[1] = 0，即第1行第0列。D格子，row = 3, c[row] = c[3] = 2, 即第3行第2列。row - c[row] == j - c[j]，表示這兩個格子在一條斜線上，返回false。
row+c[row]==j+c[j]，表示row行c[row]列與j行c[j]列，在同一條斜率為正的斜線上。這樣兩個皇后也衝突了。如下圖所示：
8.png
例3：
A格子，j = 0, c[j] = c[0] = 1，即第0行第1列。B格子，row = 1, c[row] = c[1] = 0, 即第1行第0列。row + c[row] == j + c[j]，表示這兩個格子在一條斜線上，返回false。
例4：
C格子，j = 0, c[j] = c[0] = 3，即第0行第3列。D格子，row = 3, c[row] = c[3] = 0, 即第3行第0列。row + c[row] == j + c[j]，表示這兩個格子在一條斜線上，返回false。
上面表示兩種斜線的情況，一種用的是“-”，另一種用的是“+”，其實是因為這兩種線的斜率分別為-1和1的緣故。
完整程式碼如下：
# #include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int n=8;
int total=0;
int *c=new int(n); // 也可以寫為int c[n];
bool is_ok(int row)
{
for(int j=0;j!=row;j++)
{
if(c[row]==c[j] || row-c[row]==j-c[j] || row+c[row]==j+c[j])
return false;
}
return true;
}
void queen(int row)
{
if(row==n)
{
total++;
// 打印出8個皇后具體放在0~7行的第幾列
for(int i=0; i<n; i++)
cout<<c[i]<<" ";
cout<<endl;
}
else
{
for(int col=0;col!=n;col++)
{
c[row]=col;
if(is_ok(row))
queen(row+1);
}
}
}
int main()
{
queen(0);
cout << total << endl;
return 0;
}
執行結果：
…… 6 2 0 5 7 4 1 3 6 2 7 1 4 0 5 3 6 3 1 4 7 0 2 5 6 3 1 7 5 0 2 4 6 4 2 0 5 7 1 3 7 1 3 0 6 4 2 5 7 1 4 2 0 6 3 5 7 2 0 5 1 4 6 3 7 3 0 2 5 1 6 4 92
三、回溯法和列舉法的區別
回溯法與窮舉法有某些聯絡，它們都是基於試探的。
窮舉法要將一個解的各個部分全部生成後，才檢查是否滿足條件，若不滿足，則直接放棄該完整解，然後再嘗試另一個可能的完整解，它並沒有沿著一個可能的完整解的各個部分逐步回退生成解的過程。
而對於回溯法，一個解的各個部分是逐步生成的，當發現當前生成的某部分不滿足約束條件時，就放棄該步所做的工作，退到上一步進行新的嘗試，而不是放棄整個解重來。
