深度有趣 | 06 變分自編碼器

摘要： 變分自編碼器（Variational Autoencoder，VAE）是生成式模型（Generative Model）的一種，另一種常見的生成式模型是 生成式對抗網路 （Generative Adversarial Network，GAN） 這裡我們介紹下VAE的原理，並用Keras實...

變分自編碼器（Variational Autoencoder，VAE）是生成式模型（Generative Model）的一種，另一種常見的生成式模型是 生成式對抗網路 （Generative Adversarial Network，GAN）

這裡我們介紹下VAE的原理，並用Keras實現

原理

我們經常會有這樣的需求：根據很多個樣本，學會生成新的樣本

以MNIST為例，在看過幾千張手寫數字圖片之後，我們能進行模仿，並生成一些類似的圖片，這些圖片在原始資料中並不存在，有一些變化但是看起來相似

換言之，需要學會資料x的分佈，這樣，根據資料的分佈就能輕鬆地產生新樣本

P(X)
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但資料分佈的估計不是件容易的事情，尤其是當資料量不足的時候

可以使用一個隱變數z，由z經過一個複雜的對映得到x，並且假設z服從高斯分佈

x=f(z;\theta)
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因此只需要學習隱變數所服從高斯分佈的引數，以及對映函式，即可得到原始資料的分佈

為了學習隱變數所服從高斯分佈的引數，需要得到z足夠多的樣本

然而z的樣本並不能直接獲得，因此還需要一個對映函式（條件概率分佈），從已有的x樣本中得到對應的z樣本

z=Q(z|x)
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這看起來和自編碼器很相似，從資料本身，經編碼得到隱層表示，經解碼還原

但VAE和AE的區別如下：

• AE中隱層表示的分佈未知，而VAE中隱變數服從高斯分佈
• AE中學習的是encoder和decoder，VAE中還學習了隱變數的分佈，包括高斯分佈的均值和方差
• AE只能從一個x，得到對應的重構x
• VAE可以產生新的z，從而得到新的x，即生成新的樣本

損失函式

除了重構誤差，由於在VAE中我們假設隱變數z服從高斯分佈，因此encoder對應的條件概率分佈，應當和高斯分佈儘可能相似

可以用相對熵，又稱作KL散度（Kullback–Leibler Divergence），來衡量兩個分佈的差異，或者說距離，但相對熵是 非對稱 的

D(f\parallel g)=\int f(x)\log\frac{f(x)}{g(x)}dx
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實現

這裡以MNIST為例，學習隱變數z所服從高斯分佈的均值和方差兩個引數，從而可以從新的z生成原始資料中沒有的x

encoder和decoder各用兩層全連線層，簡單一些，主要為了說明VAE的實現

載入庫

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from keras.layers import Input, Dense, Lambda
from keras.models import Model
from keras import backend as K
from keras import objectives
from keras.datasets import mnist
複製程式碼

定義一些常數

batch_size = 100
original_dim = 784
intermediate_dim = 256
latent_dim = 2
epochs = 50
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encoder部分，兩層全連線層，隱層表示包括均值和方差

x = Input(shape=(original_dim,))
h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')(x)
z_mean = Dense(latent_dim)(h)
z_log_var = Dense(latent_dim)(h)
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Lambda 層不參與訓練，只參與計算，用於後面產生新的z

def sampling(args):
z_mean, z_log_var = args
epsilon = K.random_normal(shape=(batch_size, latent_dim), mean=0.)
return z_mean + K.exp(z_log_var / 2) * epsilon

z = Lambda(sampling, output_shape=(latent_dim,))([z_mean, z_log_var])
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decoder部分，兩層全連線層， x_decoded_mean 為重構的輸出

decoder_h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')
decoder_mean = Dense(original_dim, activation='sigmoid')
h_decoded = decoder_h(z)
x_decoded_mean = decoder_mean(h_decoded)
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自定義總的損失函式並編譯模型

def vae_loss(x, x_decoded_mean):
xent_loss = original_dim * objectives.binary_crossentropy(x, x_decoded_mean)
kl_loss = -0.5 * K.sum(1 + z_log_var - K.square(z_mean) - K.exp(z_log_var), axis=-1)
return xent_loss + kl_loss

vae = Model(x, x_decoded_mean)
vae.compile(optimizer='rmsprop', loss=vae_loss)
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載入資料並訓練，CPU訓練的速度還算能忍

(x_train, y_train), (x_test, y_test) = mnist.load_data()

x_train = x_train.astype('float32') / 255.
x_test = x_test.astype('float32') / 255.
x_train = x_train.reshape((len(x_train), np.prod(x_train.shape[1:])))
x_test = x_test.reshape((len(x_test), np.prod(x_test.shape[1:])))

vae.fit(x_train, x_train,
shuffle=True,
epochs=epochs,
batch_size=batch_size,
validation_data=(x_test, x_test))
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定義一個encoder，看看MNIST中的資料在隱層中變成了什麼樣子

encoder = Model(x, z_mean)

x_test_encoded = encoder.predict(x_test, batch_size=batch_size)
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.scatter(x_test_encoded[:, 0], x_test_encoded[:, 1], c=y_test)
plt.colorbar()
plt.show()
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結果如下，說明在二維的隱層中，不同的數字被很好地分開了

再定義一個生成器，從隱層到輸出，用於產生新的樣本

decoder_input = Input(shape=(latent_dim,))
_h_decoded = decoder_h(decoder_input)
_x_decoded_mean = decoder_mean(_h_decoded)
generator = Model(decoder_input, _x_decoded_mean)
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用網格化的方法產生一些二維資料，作為新的z輸入到生成器，並將生成的x展示出來

n = 20
digit_size = 28
figure = np.zeros((digit_size * n, digit_size * n))
grid_x = np.linspace(-4, 4, n)
grid_y = np.linspace(-4, 4, n)

for i, xi in enumerate(grid_x):
for j, yi in enumerate(grid_y):
z_sample = np.array([[yi, xi]])
x_decoded = generator.predict(z_sample)
digit = x_decoded[0].reshape(digit_size, digit_size)
figure[(n - i - 1) * digit_size: (n - i) * digit_size,
j * digit_size: (j + 1) * digit_size] = digit

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(figure)
plt.show()
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結果如下，和之前看到的隱層圖是一致的，甚至能看到一些數字之間的過渡態

由於包含一些隨機因素，所以每次生成的結果會存在一些差異

如果將全連線層換成CNN，應該可以得到更好的表示結果

拓展

掌握以上內容後，用相同的方法，可以在FashionMNIST這個資料集上再跑一遍，資料集規模和MNIST完全相同

只需改動四行即可

from keras.datasets import fashion_mnist

(x_train, y_train), (x_test, y_test) = fashion_mnist.load_data()

grid_x = np.linspace(-3, 3, n)
grid_y = np.linspace(-3, 3, n)
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完整程式碼如下

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from keras.layers import Input, Dense, Lambda
from keras.models import Model
from keras import backend as K
from keras import objectives
from keras.datasets import fashion_mnist

batch_size = 100
original_dim = 784
intermediate_dim = 256
latent_dim = 2
epochs = 50

x = Input(shape=(original_dim,))
h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')(x)
z_mean = Dense(latent_dim)(h)
z_log_var = Dense(latent_dim)(h)

def sampling(args):
z_mean, z_log_var = args
epsilon = K.random_normal(shape=(batch_size, latent_dim), mean=0.)
return z_mean + K.exp(z_log_var / 2) * epsilon

z = Lambda(sampling, output_shape=(latent_dim,))([z_mean, z_log_var])

decoder_h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')
decoder_mean = Dense(original_dim, activation='sigmoid')
h_decoded = decoder_h(z)
x_decoded_mean = decoder_mean(h_decoded)

def vae_loss(x, x_decoded_mean):
xent_loss = original_dim * objectives.binary_crossentropy(x, x_decoded_mean)
kl_loss = -0.5 * K.sum(1 + z_log_var - K.square(z_mean) - K.exp(z_log_var), axis=-1)
return xent_loss + kl_loss

vae = Model(x, x_decoded_mean)
vae.compile(optimizer='rmsprop', loss=vae_loss)

(x_train, y_train), (x_test, y_test) = fashion_mnist.load_data()

x_train = x_train.astype('float32') / 255.
x_test = x_test.astype('float32') / 255.
x_train = x_train.reshape((len(x_train), np.prod(x_train.shape[1:])))
x_test = x_test.reshape((len(x_test), np.prod(x_test.shape[1:])))

vae.fit(x_train, x_train,
shuffle=True,
epochs=epochs,
batch_size=batch_size,
validation_data=(x_test, x_test))

encoder = Model(x, z_mean)

x_test_encoded = encoder.predict(x_test, batch_size=batch_size)
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.scatter(x_test_encoded[:, 0], x_test_encoded[:, 1], c=y_test)
plt.colorbar()
plt.show()

decoder_input = Input(shape=(latent_dim,))
_h_decoded = decoder_h(decoder_input)
_x_decoded_mean = decoder_mean(_h_decoded)
generator = Model(decoder_input, _x_decoded_mean)

n = 20
digit_size = 28
figure = np.zeros((digit_size * n, digit_size * n))
grid_x = np.linspace(-3, 3, n)
grid_y = np.linspace(-3, 3, n)

for i, xi in enumerate(grid_x):
for j, yi in enumerate(grid_y):
z_sample = np.array([[yi, xi]])
x_decoded = generator.predict(z_sample)
digit = x_decoded[0].reshape(digit_size, digit_size)
figure[(n - i - 1) * digit_size: (n - i) * digit_size,
j * digit_size: (j + 1) * digit_size] = digit

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(figure)
plt.show()
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我們來看一下隱層的表示，同樣起到了很好的分類效果

然後再來生成一些圖形，可以看到不同種類衣服之間的過渡