演算法: Perfect Matching

摘要： 問題描述 這個問題也叫做 Perfect Marriage 問題，是用來相親時候怎麼配對男女都好，比如非誠勿擾裡的每個男嘉賓會對女嘉賓排一個自己喜歡的順序，當然女嘉賓也會對男嘉賓排一個序，作為節點組當然會實現 “兩情相悅” 是對好啦。可是總會有不如意的情況。 比如現在有男女雙方的喜好排...

問題描述

這個問題也叫做 Perfect Marriage 問題，是用來相親時候怎麼配對男女都好，比如非誠勿擾裡的每個男嘉賓會對女嘉賓排一個自己喜歡的順序，當然女嘉賓也會對男嘉賓排一個序，作為節點組當然會實現 “兩情相悅” 是對好啦。可是總會有不如意的情況。

比如現在有男女雙方的喜好排序表，有兩個男: m1, m2, 兩個女: w1, w2

男人	最喜歡的女人	要將就的女人
m1	w1	w2
m2	w1	w2

女人	最喜歡的男人	要將就的男人
w1	m1	m2
w2	m1	m2

用二分圖可以畫成這樣

如果現在我們匹配他們為 m1 - w2, m2 - w1，肯定是不好的，也稱為 Unstable Matching，因為 m1 - w1 才是情投意合的 (雙向的)。所以 m1-w1, m2-w2 才更好一點，這種稱為 Stable Matching。

Shapley Algorithm

使用這個演算法可以很容易幫我們找到 Stable Matching。演算法如下

先初始化男人和女人都是可以沒有匹配好的

while (還有男人 m 沒有匹配) {
w = 當前男人 m 最喜歡的女人

if(w 還沒有匹配
(m, w) 先匹配成一對
else if 存在 (m', w)
if w 更喜歡 m，而不太喜歡m'
(m, w) 會組成一對
m' 重置為 “未匹配”
else
(m', w) 還是一對組合
}

以上面為例子

• 首先我們先看 m2，發現他更喜歡 w1，所以先搞個組合 (m2, w1)
• 再看 m1，發現他更喜歡 w1。而且現在存在組合 (m2, w1)，可是 w1 更喜歡 m1，所以
  • 將 (m2, w1) 拆散，組合成 (m1, w1)
  • 現在 m2 重置為 “未匹配”
• 因為 m2 是未匹配的，所以再看他下一個更喜歡的是誰，是 w2，所以組合他們 (m2, w2) 為一對
• 程式結束