小朋友學演算法（18）：交換機器的最小代價

摘要： 一、問題描述 有N臺機器重量各不相等，現在要求把這些機器按照重量排序，重量從左到右依次遞增。移動機器只能做交換操作，但交換機器要花費一定的費用，費用的大小就是交換機器重量的和。例如：3 2 1，交換1 3後為遞增排序，總的交換代價為4。 給出N臺機器的重量，求將所有機器變為有序的最小代...

一、問題描述

有N臺機器重量各不相等，現在要求把這些機器按照重量排序，重量從左到右依次遞增。移動機器只能做交換操作，但交換機器要花費一定的費用，費用的大小就是交換機器重量的和。例如：3 2 1，交換1 3後為遞增排序，總的交換代價為4。

給出N臺機器的重量，求將所有機器變為有序的最小代價（機器的重量均為正整數）。

輸入

第1行：1個數N，表示機器及房間的數量。（2 <= N <= 50000)

第2 - N + 1行：每行1個數，表示機器的重量Wi。(1 <= Wi <= 10^9)

輸出

最小代價

樣例1輸入

樣例1輸出

二、思路

以樣例1例，先進行排序

下標	1	2	3	4	5
排序前	1	8	9	7	6
排序後	1	6	7	8	9

我們從元素1開始看，排序後元素1的位置還是1，那麼就給1到1之間連一條邊，形成一個自環；再到元素8，元素8排序以後到了第4個位置，而第四個位置是元素7，所以給8到7之間連一條有向邊，同理連完剩下的邊可以得到一張圖：

那麼我們可以發現兩個環，那麼我們回到題目中來，要使最後的總和最小，我們的貪心思路是什麼？

策略一：

對於每一個環的貪心思路就是，找到這個環中最小的那個點，也就是6，然後從6開始進行交換，6和9交換，可以使9到對應的位置，花費為6+9=15,然後6和7交換，花費為6+7=13，最後等到交換完畢，自最後的答案是什麼呢？就是：

(6+9)+(6+7)+(6+8) = (6+7+8+9)+6∗2 = 30+12 = 42。

剩下一個環不用交換，那麼當前的最小值就是42，但是這不一定是最優解。

這種策略的解可表示為ans1 = sum + min * (cnt - 1)，這裡min是當前環中的最小值，cnt是min與別的元素交換的次數。

策略二:

在這個圖中找到一個最小的值，然後用這個值跟著當前的環進行交換，在這個圖中很明顯是1，我們讓第1和第二個環中的最小值6進行交換，然後再像上面一樣，交換1和9，花費為:1+9=10，交換1和7，花費為：1+7=8等到交換完畢，最後的結果是:

(1+6)+(1+9)+(1+7)+(1+8)+(1+6) = (6+8+7+9)+1∗5+6 = 41

這種策略的解可表示為ans2 = sum + least * (cnt + 2) + min，這裡least表示所有元素的最小值，min表示當前環中的最小值。

我們的貪心策略就是在這兩個策略之間，找出一個最小值ans = min(ans1, ans2)。

三、程式碼

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 50010
using namespace std;

bool visited[MAXN]; //記錄該位置的機器是否已經排好序
int least;//記錄最小重量

struct machine
{
int origin;//原來的位置
int weight;//機器的重量
};
machine mac[MAXN];

bool cmp(machine a, machine b)
{
return a.weight < b.weight;
}

long long solve(int i)
{
visited[i] = true;
int MIN = mac[i].weight;
long long sum = mac[i].weight;
int j = mac[i].origin;
int cnt = 0;

while(i != j)
{
sum += mac[j].weight;
MIN = min(MIN,mac[j].weight);
visited[j] = true;
j = mac[j].origin;
cnt++; //計算需要交換的機器數量
}

return sum + min((long long)MIN*(cnt-1), (long long)least*(cnt+2)+MIN);//兩種策略的比較
}

int main()
{
int n;
long long ans=0;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>mac[i].weight;
mac[i].origin=i;
}

sort(mac+1, mac+n+1, cmp);

least = mac[1].weight;

for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(!visited[i])
{
ans += solve(i);
}
}

cout << ans << endl;

return 0;
}