LCS，給你一個不一樣的模糊匹配

摘要： LCS(longest-common-subsequence problem),又名最長公共子序列問題 給定兩個序列X和Y，如果Z既是X的子序列，也是Y的子序列，我們稱它為X和Y的公共子序列 比如X={A,B,C,D,E,F,G} Y={T,A,C,M,G}，那麼Z={A,C,G}，就是其最...

LCS(longest-common-subsequence problem),又名最長公共子序列問題
給定兩個序列X和Y，如果Z既是X的子序列，也是Y的子序列，我們稱它為X和Y的公共子序列

比如X={A,B,C,D,E,F,G} Y={T,A,C,M,G}，那麼Z={A,C,G}，就是其最長公共子序列
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2. 為什麼說需要LCS來解決模糊匹配

我們一般的字串匹配，就是子串查詢；但是實際應用中，往往有子串查詢解決不了的問題；
比如『我家有臺電視機，你要不』和『我有個電視機，你要不』這兩者其實指代同一個事情；
那麼在實際應用場景中，特別是工業領域，往往無法存在嚴格的子串和母串；
更多的是相似性問題，即相似的字串指代同一個物品/事件。
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3. 實現原理

最長公共子序列問題:給定兩個序列
X={X1,X2,...,Xm} Y={Y1,Y2,...,Yn},求X和Y長度最長的公共子序列。
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好了，我們想一想，假設這是個演算法題，我們會怎麼做？

第一反應可能是窮舉掃描，但是呢，我們也知道，如果字串太長，暴力方法執行的時間是我們不能忍受的。

然後我們又會想到，將大問題拆分成小問題，用遞迴的思想解決。

我們假設：
1.Xm=Yn,那麼X,Y的最長公共子序列，肯定會包含最後這個字元，那麼就變成求解Xm-1,Ym-1的LCS
2.Xm!=Yn,這個時候，如果最長公共子序列不含Xm,就意味著，該題變成求解Xm-1和Yn的公共子序列
3.Xm!=Yn,這個時候，如果最長公共子序列不含Yn,就意味著，該題變成求解Xm和Yn-1的公共子序列
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至此為止，我們找到了求解最長公共子序列的方法。

我們仔細觀察一下上述的分析過程，是不是似曾相識？ 這正是 問題！

讓我們來回顧一下什麼是動態規劃：

動態規劃通常用來求解最優化問題
動態規劃是通過組合子問題的解來解決原問題
....
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以及觀察某個問題，是否適用於動態規劃演算法：

1.是否具有最優子結構性質
如果一個問題的最優解，包含其子問題的最優解
2.具有重疊子問題性質
問題的遞迴演算法會反覆求解相同的子問題
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詳見 《什麼是動態規劃》 一章

好了，接著說回LCS，通過上述的分析，我們得到如下的公式：

為什麼公式是如上形式？因為我們假設X，Y串如下排列，像是一個二維陣列

其中X={A,B,C,A,D,A,B} Y={B,A,C,D,B,A}

C[i][j]代表公共子序列的長度

如果Xi=Yj,那麼意味著子序列又多匹配上一位，其在Xi-1,Yj-1的最長公共子序列的結果上多增加了一個。

如果Xi!=Yj,那麼意味著，Xi,Yj的最長公共子序列的答案肯定在Xi-1，Yj或者Xi,Yj-1的最長公共子序列中，那麼既然是最長，肯定是取兩者中更大的值；

至此，我們已經清晰的定義出LCS的求解公式。

按照這個公式，我們可以自頂向下的遞迴或者自底向上的累加；一般動態規劃，採用自底向下更簡單些；

思路如下：

int nLenX = X.length();
int nLenY = Y.length();
char** C = new char[nLenX + 1][nLenY + 1];

//初始化c二維陣列
....

//LCS
for ( int i = 1; i <= nLenX; i++ )
{
for ( int j = 1; j <= nLenY; j++ )
{
if ( X[i-1] == Y[j-1])
{
C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1;
}
else if ( C[i-1][j] >= C[i][j-1] )
{
C[i][j] = c[i-1][j];
}
else
{
C[i][j] = C[i][j-1];
}
}
}

//析構陣列
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按照公式實現就行了，很簡單

這裡有個小細節。C[][]下標是從1開始的，並且長度比X，Y要長1位，這是從實現角度，省下了考慮i-1 < 0的問題，實現的一個小技巧。

如下圖所示：

目前為止，我們確實是實現了LCS,但是如何輸出該最長子串呢？

很簡單，只要在上述程式碼中，對其走過的字串進行標記，標記後通過反向遞迴，得到路徑，如上圖所示的灰色箭頭就是其回溯的路徑。

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