尤拉線性篩和尤拉函式的求值

尤拉函式 · 發表 2019-02-13 23:30:00

摘要： PS：求逆元的部分在文章最後。。。最好也看看前邊的知識吧qwq 用篩法求素數的基本思想是：把從1開始的、某一範圍內的正整數從小到大順序排列， 1不是素數，首先把它篩掉。剩下的數中選擇最小的數是素數，然後去掉它的倍數。依次類推，直到篩子為空時結束。（來自百度百科）一般的篩法（埃...

PS：求逆元的部分在文章最後。。。最好也看看前邊的知識吧qwq

用篩法求素數的基本思想是：把從1開始的、某一範圍內的正整數從小到大順序排列， 1不是素數，首先把它篩掉。剩下的數中選擇最小的數是素數，然後去掉它的倍數。依次類推，直到篩子為空時結束。 （來自百度百科）

一般的篩法（埃拉託斯特尼篩法）的效率是O(nlglgn)，但出題人卡你可就涼了。。

(就不介紹了（逃）)

下面我們來說O(n)的尤拉線性篩

埃篩之所以慢，是因為有些合數被重複篩除（如：6會被2和3重複篩）

但是尤拉篩保證

每一個數p，只會被其最小的素因子mp[p]篩一次

#define R register int
const int M=1000010;
int mp[M],//mp[i] 為i的最小素因子 
prime[M],//prime[i] 代表2-n中的第i個質數 
cnt；//素數計數 
inline void Prime(int n)//篩的範圍
{
for(R i=2;i<=n;i++)
{
if(!mp[i]) prime[++cnt]=mp[i]=i;
for(R j=1,k=i*prime[j];j<=cnt&′[j]<mp[i]&&(k=i*prime[j])<=m;i++) mp[k]=prime[j];
}
}

也有一些別的寫法，如

inline void Prime(int x)
{
for(int i=2;i<=x;i++)
{
if(!mp[i]) prime[++cnt]=i,mp[i]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=x;j++)
{
mp[i*prime[j]]=prime[j];
if(i%prime[j]==0) break;
//if(prime[j]>=mp[i]) break; 
}
}
}

if(i%prime[j]==0) break ; 這個很重要qwq

若 i%prime[j]==0,則 i=k*prime[j](k為正整數).

如果不 break,下一個迴圈中的 mp(i*prime[j+1])=prime[j+1],

就是 mp(k*prime[j]*prime[j+1])=prime[j+1],

但顯然k*prime[j]*prime[j+1]的最小質因子為 prime[j] 而非 prime[j+1]（prime[]陣列中的素數是遞增的）

所以應 break

if(prime[j]>=mp[i]) break;也可用這句話，一個意思，就是不能讓 i乘上的質因子大於 i的最小質因子

尤拉函式。。。

在數論，對正整數n，尤拉函式是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。此函式以其首名研究者尤拉命名，它又稱為Euler's totient function、φ函式、尤拉商數等。例如φ(8)=4，因為1,3,5,7均和8互質。

所以求某個φ(p)可以有很樸素（樸素的不行）的求法：

//就是列舉每個素因子
inline int phi(int n) 
{
R ans=1;
for(R i=2;i*i<=n;++i) if(n%i==0)
{
n/=i;
ans*=i-1;
while(n%i==0) n/=i,ans*=i;
}
if(n>1) ans*=n-1;
return ans;
}

但如果求p∈[1,n]，每個φ(p)，那上面的演算法就太菜了。

數論上的積性函式f(x)滿足a與b互素時（a,b∈N ⁺ ），f(a·b)=f(a)·f(b)，f(1)=1;

而φ(p)就是一個積性函式。

此時可以利用剛學的尤拉篩

正確性：

1.φ(p)是一個積性函式，當a與b互素時，滿足φ(a·b)=φ(a)·φ(b)。

2.當正整數p是素數時，φ(p)=p-1 (定義)

3.每個合數只會被篩到一次（前面說明過）。

4.當p是素數時，φ(p ^k )=(p-1)·φ(p ^k-1 )，因為有(p-1)個數與p互素

#define R register int 
const int N=10000010;
int n,cnt,prime[N],p[N];
bool vis[N];

inline void Euler(int n)
{
vis[1]=true;
for(R i=2;i<=n;i++) 
{
if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,p[i]=i-1;
for(R j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0) 
{
p[i*prime[j]]=p[i]*prime[j];
break;
}
p[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*p[i];
}
}
}//p[i]即為φ(i)

所以隆重推出......::::::

尤拉定理：

若p,a為正整數，且p,a互質，則：a^φ(p) ≡1 (mod p) (是不是有些眼熟)

其實尤拉定理相當於費馬小定理的擴充套件

所以我們可用其求乘法逆元：

a*a^(φ(p)-1) ≡1 (mod p)

a^(φ(p)-1)即為a mod p 意義下的逆元

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define R register int
#define ll long long
using namespace std;
static ll a,p;

inline ll q_pow(ll x,ll ind,ll mod)
{
x%=mod;
register ll a=1;
for(;ind;ind>>=1,(x*=x)%=mod) if(ind&1) (a*=x)%=mod;
return a;
}

inline int phi(int n) 
{
R ans=1;
for(R i=2;i*i<=n;++i) if(n%i==0)
{
n/=i;
ans*=i-1;
while(n%i==0) n/=i,ans*=i;
}
if(n>1) ans*=n-1;
return ans;
}

int main()
{
scanf("%lld%lld",&a,&p);
printf("%lld\n",q_pow(a,phi(p)-1,p));
return 0;
}

如有錯誤，懇請您指正（我太菜了）；如有不理解，可留言，我會盡量回復。。。（高中生(逃)。。）

by Jackpei 2019.2.13

尤拉線性篩 和 尤拉函式的求值