常用演算法思想之動態規劃的區間子集思想
思路：運用動態規劃去解決問題，這個時候子問題並不是屬於父問題的"字首"，也不是屬於父問題的"字尾",而是屬於父問題的某個區間之內。
示例
矩陣執行緒
給一個矩陣序列 ABCD，它相乘的方式可以表示為 (ABC)D=AB(CD)=A(BCD)=... ，不同的新增括號方式會導致不同的計算次數，比如
A: 10 × 30 matrix B : 30 × 5 matrix C : 5 × 60 matrix 複製程式碼
那麼
(AB)C = (10×30×5) + (10×5×60) = 1500 + 3000 = 4500 操作 A(BC) = (30×5×60) + (10×30×60) = 9000 + 18000 = 27000 操作 複製程式碼
針對這種現象，如何新增括號才能使得操作次數最少呢？
在輸入中，矩陣用一個數組表示，比如輸入 40 20 30 10 30 表示矩陣A有40行，20列，矩陣B有個20行，30列，矩陣C有30行10列，矩陣D有10行30列
輸入規則為
2//表示總共有兩個輸入 5//下一個要輸入的陣列大小 1 2 3 4 5//陣列的值 3 3 3 複製程式碼
分析如下：
假設有如下形式的矩陣做乘法
如果直接按照順序來計算,先乘A.B，得到的結果再乘C
如果優先運算 B.C ，結果再乘A
可以看到第二種方式消耗的時間會更少。擴充套件到假設有n個矩陣相乘，無論是怎麼新增括號，改變執行順序，最後一定是其它的都計算完畢，只需要計算剩餘的兩個矩陣相乘。假設區分最後兩部分的下標是k,那麼最後一次執行為
要達到最後一步，則需要把兩個部分的結果分別計算出來，假設先計算（ ），類推上面的經驗，必定存在一個節點i來劃分得到
可以看到要得到最終問題的解，這樣一層層倒推下來，需要解決類似 這樣的，屬於原始問題的某個區間內子集的問題。
以資料長度為4舉例，即3個矩陣ABC相乘,希望得到最少的計算次數。
最終要計算的結果用dp(0,3)，其中0表示輸入的矩陣陣列中的下標為0的位置，3是下標為3的位置，以此表示最終要囊括ABC三個矩陣。
按照上述分析，要計算dp(0,3)，它的最後一步有一下兩種劃分方式
- dp(0,1)與dp(1,3),即計算規則為A(BC)
- dp(0,2)與dp(2,3),即計算規則為(AB)C
比較二者那種方式計算最少即可得到最終結果
要得到dp(1,3)則需要知曉dp(1,2)與dp(2,3)的需要最少的次數
當然這裡只需要直接相乘即可
同理計算dp(0,2)
整個過程用圖表示如下:
目標為計算圖中的問號dp(0,3)，表格中的橫軸表示開始計算的下標，縱軸表示結束計算的下標，這種表示方式，當橫軸值大於縱軸值時(如座標2,0)，可以忽略，不需要計算。根據最後的劃分結果，要得到dp(0,3)先的計算A方案：dp(0,1)與dp(1,3) 或者是 B方案：dp(0,2)與dp(2,3)
A方案的計算用 x 表示計算過，B方案的計算用 o 表示計算過
dp(0,1)和dp(2,3)分表表示一個矩陣，不涉及操作，也就是作為初始值為0
dp(0,2)和dp(1,3)可以分別再劃分為
- dp(0,2):dp(0,1)與dp(1,2),其中dp(0,1)的結果可以複用dp(0,1)
- dp(1,3):dp(1,2)與dp(2,3)，其中dp(2,3)的結果可以複用dp(2,3)
特意只說明dp(0,1)和dp(2,3)的複用，是為了表明結果的可複用性，不需要重複計算
再次回顧上述過程
- 目標要得到dp(0,3)
- 需要先計算dp(0,1) dp(1,3) dp(0,2) dp(2,3)
- 為得到2的結果，需要先獲取dp(0,1) dp(1,2) dp(2,3)的結果
- 為得到3，從下標之間的關係可以看出，他們就是初始值，即只要有初始化的過程即可
現在逆向來看(從4到1)，計算的過程可以抽象為如下的一個過程
先按照藍線箭頭部分計算對應位置的值，將它儲存起來，然後計算綠線部分的值，它會複用藍線部分的結果，最終得到目標dp(0,3)。
class GFG {
public static void main (String[] args) throws IOException{
//處理資料的輸入
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int round=Integer.parseInt(br.readLine());
GFG fgf=new GFG();
for(int i=1;i<=round;i++){
int dataNum=Integer.parseInt(br.readLine());
if(dataNum<=2){
//少於1個矩陣沒有必要計算
System.out.println(0);
//記得要讀掉這部分資料，不然順序就亂了
br.readLine();
continue;
}
int[] arr=new int[dataNum];
int count=0;
for(String dataStr:br.readLine().split(" ")){
arr[count++]=Integer.parseInt(dataStr);
}
int[][] dp=new int[dataNum][dataNum];
for(int L=2;L<dataNum;L++){
//L表示，從start開始後面還有幾個字元,L用來標識從表格左下角到右上角的一個過程
for(int start=0;start<dataNum;start++){
//start 表示開始計算的地方,start表示從表格左上角到右下角的一個過程
int end=start+L;
if(end>=dataNum){
//不能超過陣列的長度
end=dataNum-1;
}
if(end-start<=1){
//賦予初始值
dp[start][end]=0;
continue;
}
int min=Integer.MAX_VALUE;
//比較當前所有可能的取值，並獲取最小的值作為子問題的最優解
for(int k=start+1;k<end;k++){
int tempMin=dp[start][k]+dp[k][end]+arr[start]*arr[k]*arr[end];
if(tempMin<min){
min=tempMin;
}
}
dp[start][end]=min;
}
}
System.out.println(dp[0][dataNum-1]);
}
}
}
複製程式碼