零知識證明 | 1.什麼叫同態隱藏？
所謂零知識證明，指的是在 不洩露祕密的前提下，證明我知道這個祕密 。
舉個簡單例子，假設我一個月工資2000，我老婆一個月工資3000。我不會把這兩個數字透露給你，但是我可以告訴你，我倆每個月的工資加起來是5000。你可以通過某種方式驗證我倆的工資加起來確實是5000，但是你沒辦法反推出來我每個月的工資是多少，我老婆每個月工資是多少。
要做到這一點，需要引入一個概念，叫做 同態隱藏 。這需要一些數論的知識，不過別擔心，我也沒有學過數論，所以我會盡可能用簡單的語言來解釋這個概念。
我們把上面那個問題用數學語言描述一下：已知兩個數 和 ，需要在不洩漏這兩個數的前提下，證明 。
要實現這一點，我們需要引入一個同態隱藏函式 ，該函式滿足下面3個條件：
- 知道 的值，沒法反推出 的值。這個很容易理解，如果能反推的話，祕密就暴露了
- 如果 ，那麼 。也就是說，這是一個單射，或者叫一一對映
- 如果知道了 和 ，就可以算出 。舉個例子：
如果找到了這個同態隱藏函式，問題就簡單了：我把 跟 的值告訴你，你用它們算出 ，然後判斷一下是不是等於 就行了。也就是說，把驗證 轉化成了驗證 。
這個同態隱藏函式，用普通的加減乘除運算是沒法實現的，我們需要引入2個新的運算。
1.模p加法
p可以是任意整數，不過為了獲得一些特殊性質，p一般取一個素數，比如7。
所謂模p加法，就是加完之後對p取模（除以p取餘數）。比如下面的例子：
我們把集合 跟模p加法運算一起稱為一個 有限群 。
集合的元素個數稱為有限群的 階 ，所以上面是一個7階有限群。
2.模p乘法
和模p加法類似，模p乘法就是相乘之再對p取模。比如下面的例子：
顯然，這也是一個7階有限群。
另外還有一個有趣的現象，如果讓集合 中的每個元素對自身不斷地做模p乘法（即乘方），觀察我標紅的那兩行：
有沒有發現，集合 中的每個元素都可以被生成出來（只不過順序被打亂了）？這種群被稱為 迴圈群 ，元素3或者5稱為一個 生成元 。實際上，所有素數階的有限群都是迴圈群。
3.同態隱藏函式
有了上面這些背景知識，我們就可以來尋找同態隱藏函式 了。
在上面的例子裡，生成元 。假設我們取3，定義 。
這個 函式是不是真的滿足之前提到的3個條件呢？我們來確認一下：
- 由於生成的元素的順序是亂的，所以沒法根據 反推出 。你可能會說，根據上面那張表不就能反推出來了嗎？ 在實際應用中，p通常是一個很大的素數，比如 量級的數，所以以目前計算機的計算能力，是沒有辦法算出完整的表的（術語叫離散對數難題）
- 如果 ，那麼 。這條是滿足的，因為生成元的作用就是生成集合中的每一個元素，從表中的資料也可以看出來
- 根據 和 可以算出 。在這個例子裡， 。注意這裡 和 的取值範圍是 ，所以這裡的的加法是模p-1加法，為了公式簡潔沒有顯式指明。我們來證明一下，根據指數運演算法則：
好了，現在我們有同態隱藏函數了，接下來通過實際的例子加深理解。
我們要保護的祕密是 。我們計算出 和 ，把它們的值提供給驗證者：
驗證者驗證 是否等於 ：
驗證成功！現在驗證者可以確認我知道 跟 的值，並且 。但是，他並不知道 和 的具體值是多少，我們的目的達到了。
總結一下： 同態隱藏就是通過一種特殊的對映函式，打亂原始資料的順序。根據對映值不能反推出原始值，但是對映值之間的關係可以反映原始值之間的關係。
