LeetCode 292. Nim遊戲

題目描述：

輸入: 4
輸出: false 
解釋: 如果堆中有 4 塊石頭，那麼你永遠不會贏得比賽；
因為無論你拿走 1 塊、2 塊 還是 3 塊石頭，最後一塊石頭總是會被你的朋友拿走。

思路

簡單題，巴什博弈 。

顯然，如果n=m+1，那麼由於一次最多隻能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現瞭如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，如果後取者拿走k（≤m)個，那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。

對於巴什博弈，那麼我們規定，如果最後取光者輸，那麼又會如何呢？

（n-1）%（m+1）==0則後手勝利

先手會重新決定策略，所以不是簡單的相反行的

JAVA SOLUTION

class Solution {
public boolean canWinNim(int n) {
return n % 4 == 0 ? false : true;
}
}

擴充套件

威佐夫博奕

威佐夫博弈（Wythoff's game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從任一堆取至少一個或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。

兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。

那麼任給一個局勢， (a，b)，怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：

尼姆博奕

指的是這樣的一個博弈遊戲，目前有任意堆石子，每堆石子個數也是任意的，雙方輪流從中取出石子，規則如下：

1)每一步應取走至少一枚石子；每一步只能從某一堆中取走部分或全部石子；

2)如果誰取到最後一枚石子就勝。

判斷當前局勢是否為必勝（必敗）局勢：

把所有堆的石子數目用二進位制數表示出來，當全部這些數按位異或 結果為0時當前局面為必敗局面，否則為必勝局面；

#include<iostream>
using namespace std;
int temp[ 20 ]; //火柴的堆數

int main()
{
int i, n, min;
while( cin >> n )
{
for( i = 0; i < n; i++ )
cin >> temp[ i ]; //第i個火柴堆的數量
min = temp[ 0 ];
for( i = 1; i < n ; i++ )
min = min^temp[ i ]; //按位異或
if( min == 0 )
cout << "Lose" << endl; //輸
else
cout << "Win" << endl; //贏
}
return 0;
}

斐波那契博弈

有一堆個數為n的石子，遊戲雙方輪流取石子，滿足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之後每次可以取的石子數介於1到對手剛取的石子數的2倍之間（包含1和對手剛取的石子數的2倍）。

約定取走最後一個石子的人為贏家，求必敗態。

這個遊戲叫做斐波那契博弈，肯定和斐波那契數列 ： 有密切的關係。如果試驗一番之後，可以猜測：先手勝當且僅當n不是斐波那契數。換句話說，必敗態構成斐波那契數列。