matlab—數值微積分

摘要： polyva() 多項式計算在理工科教學、科研中有著特殊地位和意義。matlab 作為重要的工程計算軟體也給出了相應的計算指令來完成這一工作。其中就有多項式求值 polyval 函式，其呼叫格式為： y = polyval(p,x); ，返回 n 次多項式 p 在 x 處的值 ...

polyva()

多項式計算在理工科教學、科研中有著特殊地位和意義。matlab 作為重要的工程計算軟體也給出了相應的計算指令來完成這一工作。其中就有多項式求值 polyval 函式，其呼叫格式為： y = polyval(p,x); ，返回 n 次多項式 p 在 x 處的值

• p：一個長度為 n+1 的向量，其元素為按降冪排列的多項式係數
• x：可以是一個矩陣或者一個向量，在這兩種情況下，polyval 計算在 x 中任意元素處的多項式 p 的估值

polyder()

多項式求微分函式 polyder，其呼叫格式為：

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(b,a)

polyint()

多項式積分函式 polyint，其呼叫格式為： polyint(p,c) ;，p 是多項式對應的係數，c 是常數項（可以任意指定）

dif()

上面我們講的都是多項式的一些數值計算的方法，如果不是多項式如何計算呢，舉個栗子，如何求 sin(x) 在某一點的微分，這時就需要微分的定義

$$

f'(x_0) = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

$$

其實我們只要知道兩個點，一個 (x0,f(x0)) ，另一個 (x0+h,f(x0+h))

這裡涉及到一個函式 diff，其呼叫格式為： Y=diff(X) 。X 是一個 m 維的向量，那麼 Y 返回的是一個 m-1 維的向量，其中 Y 的元素分別是 X 相鄰元素之間的差值，即 Y=[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)] ；X 是一個非空的 m n 的矩陣，那麼 Y 返回的是一個 (m-1) n 的矩陣，其中 Y 的元素分別是 X 行與行之間的差值， Y=[X(2,:)-X(1,:) X(3,:)-X(2,:) ... X(m,:)-X(m-1,:)] 。下面就給出程式碼，求sin(x) 在 x = pi/2 時的微分

x0 = pi / 2;
h = 0.1;
x = [x0,x0 + h];
y = [sin(x0),sin(x0+h)];
m = diff(y) / diff(x)

得到的答案顯然不等於0，這時因為h太大了，可以將h不斷縮小，得出來的值也會不斷接近 0

integral()

integral 函式的作用是求定積分，其呼叫格式為： integral(fcn handle,x0,x1); ，fcn handle 是函式控制代碼，x0 表示積分下限，x1 表示積分上限

y = @(x)sin(x);
integral(y,0,2*pi);

函式控制代碼的格式為： @(自變數)函式體 ，可以把 @(自變數) 當成是 d(自變數) ，只不過放到前面去了

integral2()

二重積分函式 integral2() ，呼叫格式類似 integral，直接給出示例

$$

f(x,y) = \int_{0}^{\pi} \int_{\pi}^{2\pi}(y\cdot sin(x) + x\cdot cos(y))\text{d}x{d}y

$$

f = @(x,y)y.*sin(x)+x.*cos(y);
integral2(f,pi,2*pi,0,pi);

integral3()

三重積分函式 integral3() ，呼叫格式類似integral

$$

f(x,y,z) = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi}(y\cdot sin(x) + z\cdot cos(y))\text{d}x{d}y{d}z

$$

f = @(x,y,z)y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)