人工智慧通識-程式設計-微積分定理
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微積分定理簡單說就是， 微分和積分互為逆運算 。
曲線下的面積
為什麼會有微積分這種折磨人的東西？這個要從求函式曲線下面的面積說起。
對於曲線函式 ，怎麼求這條曲線下面[a,b]區間內的黃色面積？
如果這個面積是矩形、梯形或者三角形，圓形之類都有公式可以用。但有沒有想過是否可以發明一種通用的方法，能夠求任何曲線函式下面某區間面積？
積分定義
數學家黎曼想出了一個辦法，看下圖。
這就把原本求連續曲線下面積轉換為求n個豎著的小長方形面積之和。當n趨近於無窮大的時候，這些小長方形面積之和就等於曲線下的區間面積。
如上圖所示，假設 為區間
上任意一點，每個長方形的面積都可以表示為
。
所以積分的定義就是：
即n趨近於無窮大的時候無數個長方形組成的曲線下的面積。
正式的寫作：
這個大波浪號可以讀作積分，或者英文Integrate。
提示，這裡的z雖然圖上標識為 的中點，實際上可以是其中任意一點，即使是
也沒問題，因為在極限的情況下，這個長方形會無限的窄，
也會無限小，所以取哪個都不要緊。
積分和微分
如果我們把黃色區域視為一個因變數 ,那麼我們能否找到一個函式來表現
隨著
增大而發生的變化呢？
如上圖所示，我們假設 就是找到的面積函式，它表示了黃色面積隨著x增大而發生的變化：
- x從1到2，面積增加3；
- x從2到3，面積增加5；
- x從3到4，面積增加3；
...
有了 我們就可以用
求出左側圖中黃色任意區間的面積。
微積分定理
微積分定理說，上圖中， 曲線的切線函式就是左側的
。
為什麼呢？
回到開始的那張圖：
這是用來說明微分的，微分就是求導數，導數就是曲線的斜率slope，圖裡面斜率就是∠bac的正切值，就是：
再對應到這個圖，dy就是面積的變化。
所以我們有：
我們觀察右圖 的斜率變化，對照左側
的曲線變化，也可以看到兩者是一致相符合的。
你看到了嗎？右側斜率逐漸變大再逐漸變小，左側y值也是逐漸變大然後逐漸變小。
微積分定理的數學證明
微積分互為逆運算， 的導數函式就是
。
在區間[a,b]上連續不斷，如果
這裡使用 只是避免和
混淆。
那麼假設有一點 ,用
和
兩個區間面積的差可以求到
區間的面積，也可以從
做減法求得，所以有：
可以滿足：
這是 積分中值定理 的直接解釋和應用。
然後我們再結合微分斜率的定義，如下圖， 如果越來越小，最終
將趨近於h。
根據上圖有：
因為上面已經有:
所以有：
既然 無限趨近於0，那就相當於是
無限趨近於
，即
。
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