人工智慧通識-數學-矩陣乘法的線性方程意義

摘要： 歡迎關注我的專欄( つ•̀ω•́)つ【人工智慧通識】 繼續前一篇零基礎矩陣運算，來進一步學習矩陣乘法運算的意義。 回顧 矩陣的加法和我們熟悉的加法一樣，但矩陣的乘法更像是把第二個矩陣當做權重來考慮，為第一個矩陣求加權和，計演算法則是...

歡迎關注我的專欄( つ•̀ω•́)つ【人工智慧通識】

繼續前一篇零基礎矩陣運算，來進一步學習矩陣乘法運算的意義。

回顧

矩陣的加法和我們熟悉的加法一樣，但矩陣的乘法更像是把第二個矩陣當做權重來考慮，為第一個矩陣求加權和，計演算法則是 行乘 列得到第 行 列 ，即：

對應的三個表格是：

• Data資料表：逐條資料（每家店鋪各類商品銷量）

行數	a類	b類	c類
row01
row02

• Weight權重表：各類雙權重（每類商品單個銷售價weight和進貨價scale）

型別	weight權重	scale放縮
a類
b類
c類

• Result結果表：加權和結果（每家店鋪銷售總額和進貨總額）

條目	weight加權和	scale加權和
row01
row02

綜上，資料表多1行，結果就多1行；權重表多1列，結果就多1列；資料表的列數必須與權重表的行數相同。在乘法中前後兩個矩陣順序不能互換。

二項式意義

假設我們只有 和 兩種商品型別的2條資料（2家店鋪）， 和 兩種商品型別的權重 未知（銷售價未知），但加權和也就是總銷量已知，那麼理論上也應該能夠求出 權重表。

求 ：把 兩端乘以2得到 ,與 相減消去 ，得到 即 。

關於兩列權重的情況請大家自己推理。

矩陣乘法的變數關係

如果我們已知一些條目資料（比如多家店鋪多個商品的銷售量），以及對應的結果資料（比如銷售額），而這些條目資料和結果資料背後隱藏著某種線性相關，可以通過某些特定的加權值求和得到結果資料，那麼矩陣乘法就可以表示這樣的關係了。

已知多個條目（樣本）和結果（標籤）求權重，這是機器學習和神經網路的基本思想。

比如的房屋租金預測問題，已知100個包含房屋面積、房屋年齡等多列特徵的租房資訊（條目樣本）以及對應的月租金額（標籤結果），如果我們能找到面積的權重、房齡的權重以及每列特徵對應的權重，那麼我們就可以用這些權重來預測任何面積和房齡的房屋的租金了。

• 樣本表（已包含租金結果）

條目	面積	房齡	租金(結果/標籤)
陽光花園3#401	90	3	7200
樂享花園4#201	60	6	3200
...	...	...	...

• 權重表

因素型別	權重
面積
房齡
...	...

• 結果表

條目	租金(結果/標籤)
陽光花園3#401
樂享花園4#201
...	...

實際上這裡的 和 未必有解，尤其是資料條目有100條的時候，根本不可能100個方程共用2個權重，這就好像並非每家店鋪的進貨價都一樣，銷售價都一樣，那不太可能。但是我們所需要尋找的正是100條資料樣本中的規律，或者說就是有那麼兩個權重，對100條資料來說都接受的比較好，——雖然都不滿意，但也都相差不大，只要總體相差最小的就可以了 。

機器學習和神經網路的這個套路一定能成功嗎？未必。比如，如果房屋面積和最終租金不是簡單線性加權關係，而是是乘方立方n次方關係的話就不行了；更無法確定的是，如果是非線性的離散關係甚至更復雜的關係，也會導致結失敗。——所以，機器學習和神經網路需要用更加豐富和複雜的演算法來適應更多情況。

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