[洛谷P4410][HNOI2009]無歸島
摘要：
題目傳送門
本題有一個結論就是圖是邊仙人掌。接下來來證明這個結論：
【推論1】對於一個n個節點(n>1)的島嶼，至少有一個節點的度大於1。
證：
假設不存在度大於1的節點。
那麼如果n=2，圖的形態只有一種，不可行。
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ofollow,noindex" target="_blank">題目傳送門
本題有一個結論就是圖是邊仙人掌。接下來來證明這個結論：
【推論1】對於一個n個節點(n>1)的島嶼，至少有一個節點的度大於1。
證：
假設不存在度大於1的節點。
那麼如果n=2，圖的形態只有一種，不可行。
如果n>2，要使圖聯通，那麼邊數量一定至少為n-1，如果節點度至多為1，那麼邊數一定少與n-1條，所以也不可行。
綜上所述，至少有一個節點的度大於1。
證畢。
【推論2】對於一個n個節點的島嶼，該島嶼是邊仙人掌。
證：
對問題進行歸納證明。
當n=0或n=1時顯然成立。
當n>1時，
那麼根據【推論1】至少有一個節點的度大於1。設度數最大的節點為A。
不妨設其中一個和A有連邊的節點為B。那麼設與A，B均有連邊的點為C。
【推論2.1】B，C均沒有除AB，AC，BC以外的其它連邊。
證：
由於對稱性，我們只討論B的情況。
使用反證法，假設B的其他連邊連向D。
設任意一個與A有直接連邊的點E。那麼存在一個點與D，E均有連邊，設這個點為F。那麼對於另一個與A有連邊的點E’，與E’,D有連邊的點F’，由題意得，F’與F不同。那麼意味著D與所有與A有連邊的點均需要至少對應得與增加一條連邊，而D本身與B有連邊，所以此時D的度數大於A，與假設不相符，因此B無其他連邊。
對稱地，C也成立。
證畢。
根據【推論2.1】，B，C均沒有其他連邊，那麼根據歸納法，除去B，C以外的點是構成了邊仙人掌，所以整個島嶼是邊仙人掌。
【推論3】該圖是邊仙人掌。
證：
所有島嶼構成了一個環，島嶼與島嶼之間沒有直接連邊，所以一條邊處在兩個環中。
證畢。
所以這就是一道邊仙人掌DP的裸題，直接寫棵圓方樹DP一下就可以了。
\#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N=5+2e5;
struct Edge{ int to,nxt; }edge[2][MAX_N+MAX_N];
int head[2][MAX_N],top_edge[2]={-1,-1};
void add_edge(int t,int x,int y){
edge[t][++top_edge[t]]=(Edge){y,head[t][x]};
head[t][x]=top_edge[t];
}
int a[MAX_N],stk[MAX_N],top_node,n;
int dfn[MAX_N],low[MAX_N],ti=0,top_stk=0;
void tarjan(int x,int pre){
stk[++top_stk]=x,dfn[x]=low[x]=++ti;
for(int j=head[0][x];j!=-1;j=edge[0][j].nxt){
int y=edge[0][j].to;
if(y!=pre){
if(dfn[y]==0){
tarjan(y,x),low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]==dfn[x]){
++top_node;
add_edge(1,x,top_node);
add_edge(1,top_node,x);
while(stk[top_stk+1]!=y){
add_edge(1,stk[top_stk],top_node);
add_edge(1,top_node,stk[top_stk]);
--top_stk;
}
}else if(low[y]>dfn[x]){
add_edge(1,x,y);
add_edge(1,y,x);
}
}else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
if(dfn[x]==low[x]) --top_stk;
}
int f[MAX_N][2],g[MAX_N][2][2],son[MAX_N];
bool mark[MAX_N];
void dp(int x,int pre){
if(mark[x]) return;
mark[x]=true;
int top=0;
for(int j=head[1][x];j!=-1;j=edge[1][j].nxt){
int y=edge[1][j].to;
if(y!=pre) dp(y,x);
}
for(int j=head[1][x];j!=-1;j=edge[1][j].nxt){
int y=edge[1][j].to;
if(y!=pre) son[++top]=y;
}
if(x>n){
g[1][0][0]=f[son[1]][0],g[1][0][1]=0;
g[1][1][0]=0,g[1][1][1]=f[son[1]][1];
for(int j=2;j<=top;++j){
int y=son[j];
g[j][0][0]=max(g[j-1][0][0],g[j-1][0][1])+f[y][0];
g[j][0][1]=g[j-1][0][0]+f[y][1];
g[j][1][0]=max(g[j-1][1][0],g[j-1][1][1])+f[y][0];
g[j][1][1]=g[j-1][1][0]+f[y][1];
}
f[x][0]=g[top][0][0];
f[x][1]=max(max(g[top][0][1],g[top][1][0]),g[top][1][1]);
}else{
f[x][0]=0,f[x][1]=a[x];
for(int j=1;j<=top;++j){
int y=son[j];
f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
f[x][1]+=f[y][0];
}
}
}
int main(){
memset(head,-1,sizeof(head));
int m; scanf("%d%d",&n,&m);
top_node=n;
for(int i=1;i<=m;++i){
int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
add_edge(0,u,v),add_edge(0,v,u);
}
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&a[i]);
a[i]=max(a[i],0);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(dfn[i]==0) tarjan(i,0);
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!mark[i]){
dp(i,0);
ans+=max(f[i][0],f[i][1]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}