一分鐘說清楚並查集
分離集合 (disjoint set) 是一種經典的資料結構，它有三類操作：
Make-set(a) ：生成包含一個元素a的集合S；
Union(X, Y) ：合併兩個集合X和Y；
Find-set(a) ：查詢元素a所在集合S，即通過元素找集合控制代碼；
它非常適合用來解決集合 合併與查詢 的問題，也常稱為 並查集 。
一、並查集的連結串列實現
如上圖，並查集可以用 連結串列 來實現。
連結串列實現的並查集，Find-set(a)的時間複雜度是多少？
集合裡的 每個元素，都指向“集合的控制代碼” ，這樣可以使得“查詢元素a所在集合S”，即 Find-set(a)操作在O(1)的時間內完成 。
連結串列實現的並查集，Union(X, Y)的時間複雜度是多少？
假設有集合：
S1={7,3,1,4}
S2={1,6}
合併S1和S2兩個集合，需要做兩件事情：
(1) 第一個集合的尾元素，鏈向第二個集合的頭元素(藍線1)；
(2) 第二個集合的所有元素，指向第一個集合的控制代碼(藍線2,3)；
合併完的效果是：
變成了一個更大的集合S1。
集合合併時，將 短的連結串列，往長的連結串列上接 ，這樣變動的元素更少，這個優化叫做“ 加權合併 ”。
畫外音：實現的過程中，集合控制代碼要儲存元素個數，頭元素，尾元素等屬性，以方便上述操作進行。
假設 每個集合的平均元素個數是n ， Union(X, Y)操作的時間複雜度是O(n) 。
能不能Find-set(a)與Union(X, Y)都在O(1)的時間內完成呢？
可以，這就引發了並查集的第二種實現方法。
二、並查集的有根樹實現
什麼是有根樹，和普通的樹有什麼不同？
常用的set，就是用普通的二叉樹實現的，其元素的資料結構是：
element{
int data;
element* left;
element* right;
}
通過左指標與右指標，父親節點指向兒子節點。
而有根樹，其元素的資料結構是：
element{
int data;
element* parent;
}
通過兒子節點，指向父親節點。
假設有集合：
S1={7,3,1,4}
S2={1,6}
通過如果通過有根樹表示，可能是這樣的：
所有的元素，都通過parent指標指向集合控制代碼，所有元素的Find-set(a)的時間複雜度也是O(1)。
畫外音：假設集合的首個元素，代表集合控制代碼。
有根樹實現的並查集，Union(X, Y)的過程如何？時間複雜度是多少？
通過有根樹實現並查集，集合合併時，直接將一個集合控制代碼，指向另一個集合即可。
如上圖所示，S2的控制代碼，指向S1的控制代碼，集合合併完成：S2消亡，S1變為了更大的集合。
容易知道， 集合合併的時間複雜度為O(1) 。
會發現，集合合併之後， 有根樹的高度變高了 ，與“加權合併”的優化思路類似，總是把 節點數少的有根樹，指向節點數多的有根樹 （更確切的說，是高度矮的樹，指向高度高的樹），這個優化叫做“ 按秩合併 ”。
新的問題來了， 集合合併之後，不是所有元素的Find-set(a)操作都是O(1)了，怎麼辦？
如圖S1與S2合併後的新S1， 首次 “通過元素6來找新S1的控制代碼”，不能在O(1)的時間內完成了，需要兩次操作。
但為了讓 未來“通過元素6來找新S1的控制代碼”的操作能夠在O(1)的時間內完成 ，在首次進行Find-set(“6”)時，就要將元素6“尋根”路徑上的所有元素，都指向集合控制代碼，如下圖。
某個元素如果不直接指向集合控制代碼， 首次 Find-set(a)操作的過程中，會將該路徑上的所有元素都直接指向控制代碼， 這個優化叫做“ 路徑壓縮 ”。
畫外音： 路徑上的元素第二次執行Find-set(a)時，時間複雜度就是O(1)了。
實施“路徑壓縮”優化之後， Find-set的平均時間複雜度仍是O(1) 。
結論
通過連結串列實現並查集：
● Find-set的時間複雜度，是 O(1) 常數時間
● Union的時間複雜度，是集合平均元素個數，即 線性時間
畫外音：別忘了“加權合併”優化。
通過有根樹實現並查集：
● Union的時間複雜度，是 O(1) 常數時間
● Find-set的時間複雜度，通過“ 按秩合併 ”與“ 路徑壓縮 ”優化後，平均時間複雜度也是O(1)
使用並查集，非常適合解決“微信群覆蓋”問題。
思路比結論重要，有收穫就是好的。
原文釋出時間為：2018-11-20
本文作者：58沈劍