有沒有哪個趨勢指標更好使？
摘要
趨勢追蹤策略成功的關鍵在於選擇適當的時間尺度、倉位控制、投資組合構建以及風險管理等要素。與這些相比，具體使用哪個方法來計算趨勢則沒那麼重要。
1 引言
市場中有句老話“趨勢是你的朋友”。無論是表現不俗的 CTA 策略還是股票市場的動量因子，都是依靠追蹤趨勢而構建的成功策略的典範。
而在技術層面，各種捕捉趨勢的方法也是層出不窮：基於收益率的時序動量、來自技術分析的均線交叉或通道突破、各種 state space 模型比如卡爾曼濾波、基於價格的線性迴歸、甚至是頻域分析（如傅立葉變換、小波分析等）。
當某種方法的回測結果不是那麼給力的時候，人們的第一反應總是尋找下一個（更復雜）的方法來計算趨勢。然而究其核心，上述方法都是基於價格或者收益率的時間序列計算出來的，真的有哪種方法或者指標顯著優於其他方法嗎？這就是本文關心的問題。
為了回答這個問題，Levine and Pedersen (2016) 提出了 trend signature plots（趨勢簽名圖） 這個概念。其目的是把不同計算趨勢的方法繪製成價格或者收益率的權重隨時間變化的函式，以此來橫向比較不同的趨勢指標。
下面就來用時序動量和均線交叉來解釋 trend signature plots。
2 時序動量 vs 均線交叉
為了便於討論和數學推導，假設我們考慮對數價格 —— 因為對數價格的差分就是對數收益率，這樣就可以非常簡單的在價格和收益率之間轉換，從而比較不同的趨勢計算方法。
時序動量一般的計算方法為使用過去一段時間的收益率進行加權平均（通常的做法是等權），以此得到趨勢指標。 假設當前時刻為 t，則 t 時刻的時序動量（time series momemtum）指標 TSMOM_t 可以寫成如下形式：
為不失一般性，上式寫成了無窮級數的形式。在實際應用中，對於給定的計算視窗 N，只需要令所有 s > N 的權重 c_s 等於零即可。
再來看看均線交叉（moving average crossover）。 它是使用快、慢兩個均線構成的趨勢指標。每個均線都是給定視窗內價格序列的加權平均（因權重不同可以有簡單移動平均、指數移動平均等），趨勢訊號則是快、慢兩個均線之差。 均線交叉的數學表示式如下：
直觀比較 TSMOM 和 MACROSS 兩個計算趨勢的方法，它們看上去似乎差別很大。但是，通過簡單的數學推導可以發現 MACROSS 可以很容易的表達為收益率序列按照某種特定權重加權的組合。 具體來說，從 TSMOM 的定義出發，將其轉化為如下形式：
比較上式和 MACROSS 的定義就可以看到收益率的權重 
和 MACROSS 權重 
及 
之間的關聯：
該結果意味著，只要按照上述 對收益率進行加權平均，得到的趨勢訊號就等價於均線交叉。 利用這種等價性就可以把不同的趨勢計算方法繪製成不同時刻收益率的權重隨 s 的變化，以此得到 trend signature plot。需要指出的是，通過轉換價格權重得到的收益率權重序列之和並不等於 1。為了比較不同方法的 trend signature plots，需要對收益率權重進行歸一化處理。
上述基於均線交叉的推導也可以推廣到更一般的情況。假設某種趨勢計算方法是價格序列的加權： 
，則其對應的收益率加權係數為：
其中 A 是將 序列歸一化的係數。下圖展示了三種不同方法的 trend signature plots（橫座標最左側 s = 0 代表著最新的時刻、橫座標增大代表時序 lag 增大），它們分別為：
- 視窗為 260 個交易日、使用等權重計算的 TSMOM 訊號；
- 視窗分別為 20 和 260 日的簡單移動平均線計算的均線交叉訊號；
- 質心（center of mass）分別為 32 和 128 的指數移動平均計算的均線交叉訊號。
從上圖不難看出，儘管時序動量和均線交叉聽起來截然不同，但它們背後的趨勢簽名其實相差的並不大；而同屬於均線交叉的簡單平均和指數平均，它們之間的相似性就更高了 —— 這說明如果簡單移動平均的效果不好而寄希望於指數移動平均發揮什麼神奇的效果，實在是有些不切實際。
3 其他線性演算法
本節再來考慮其他兩種常見的計算趨勢的線性方法：卡爾曼濾波（Kalman 1960）和線性迴歸。
卡爾曼濾波是一種從帶噪聲的動態線性系統中估計隱含狀態的有效方法。 以價格序列為例，最簡單的模型是 random walk + local trend，而 trend 的取值是不可觀測的，需要使用卡爾曼濾波來估計。Harvey (1984) 指出，當使用卡爾曼濾波分析 local trend 模型時，對 local trend 的最優估計是收益率序列的指數移動平均。
下圖比較了三種不同趨勢計算方法的 trend signature plots：
- 視窗為 260 個交易日、使用等權重計算的 TSMOM 訊號；
- 質心（center of mass）分別為 32 和 128 的指數移動平均計算的均線交叉訊號；
- 使用質心為 96 的指數平滑代表的卡爾曼濾波趨勢訊號。
相比較其他兩種方法，卡爾曼濾波偏重於賦予近期的收益率更高的權重。其他常見線性濾波器還有 HP filter（Hodrick and Prescott 1997），也可以得到類似的結果，這裡不再贅述。
再來看看 OLS 線性迴歸。以下圖為例，線性迴歸使用過去一段時間的價格序列在時序上進行線性擬合 
Line"/> ；迴歸係數 的正負則代表著趨勢上漲或者下降。
具體而言，假設用於迴歸的（對數）價格序列視窗為 N，則 N 對樣本點分別為 
, 
, …, 
, 
。由 OLS 的定義可知， 
為：
其中 
是 N 期價格均值。此外，通過簡單的代數運算可知：
因此， 
可以進一步簡化為如下形式：
上式說明， 是價格序列的線性加權。因此我們可以利用上一節提到的處理方法將它轉化為收益率加權，從而得到 trend signature plot。
最後，下圖比較了三種不同趨勢計算方法的 trend signature plots，說明 OLS 計算的趨勢訊號和 TSMOM 以及 MACROSS 並無本質的區別：
- 視窗為 260 個交易日、使用等權重計算的 TSMOM 訊號；
- 視窗分別為 20 和 260 日的簡單移動平均線計算的均線交叉訊號；
- 線性迴歸 OLS 得到的趨勢訊號。
在本小節和上一節的對比中，我們在選取不同趨勢計算方法的引數時，刻意要求它們計算趨勢的時間尺度是相同的（只有這樣的比較才有意義）。這一點是非常重要的，它說明 一旦選定了時間尺度，則不同的趨勢計算方法的效果非常接近。 歸根到底，這些趨勢計算方法都可以轉化成各自的 trend signature plot 來表示，雖然它們的形態有些差異，但其本質仍然都是收益率的某種加權平均。
4 一個例子
本節使用 Levine and Pedersen (2016) 的例子來對比 TSMOM 和 MACROSS 兩種方法，並說明 對於趨勢策略，計算趨勢的時間尺度遠比給定尺度下選擇哪種計算方法更重要。
具體來說，針對這兩種方法，分別考慮一個月、三個月和一年這三個時間尺度。投資標的來自 Moskowitz et al. (2012) 中提及的 58 種資產（包括商品期貨、債券、股票和外匯）。根據這三個時間尺度，分別選擇 TSMOM 和 MACROSS 的引數如下（MACROSS 中的快、慢均線均使用指數移動平均，引數表示快、慢均線的質心）：
使用這些方法構建的趨勢追蹤策略的收益率、波動率以及夏普率如下表所示。
上述結果說明， 對於給定的時間尺度，TSMOM 和 MACROSS 兩種方法的結果非常接近；而選擇正確的計算趨勢的時間尺度則有助於提高策略的收益率和夏普率。
最後，我們可以通過迴歸進一步比較這兩種方法。具體的，使用三個 TSMOM 策略作為解釋變數來分別解釋每一個 MACROSS 策略；反之用三個 MACROSS 策略作為解釋變數來逐一解釋 TSMOM 策略。迴歸結果如下。
從上面的結果可以解讀出如下資訊：
- 這六個迴歸的 R-squared 都很高，說明這兩種方法很高的相似性；
- 對於每一個級別的訊號，解釋變數中最顯著的恰好是和它同級別的另一種方法計算的訊號；
- 從截距來看，TSMOM 訊號似乎有 MACROSS 無法解釋的 α。
對於第三點，它並不說明 TSMOM 就比 MACROSS 更好。 造成這種現象的原因是，三個 TSMOM 訊號的 trend signature plots 的組合可以更好的模擬每一個 MACROSS 的 trend signature plot；而反觀 MACROSS，它們的 trend signature plots 無法很好的逼近 TSMOM 的 trend signature plot（下圖）。
5 結語
趨勢追蹤策略成功的關鍵在於選擇適當的時間尺度、倉位控制、投資組合構建以及風險管理等要素。與這些相比，具體使用哪個指標或者方法來計算趨勢則沒那麼重要。
之前我寫過一些關於趨勢（或動量）的文章，它們包括：
- ofollow,noindex" target="_blank">《移動平均：你知道的與你不知道的》 ：探尋均線背後的數學內在，解析不同均線計算方法的相似之處。
- 《什麼樣的收益率特性適合趨勢追蹤策略》 ：研究適合趨勢策略的收益率特徵，指出計算趨勢的時間尺度對於趨勢策略的成敗至關重要。
- 《動量策略的是與非》：比較時序動量和截面動量的不同。
這些文章，以及今天這篇，都沒有去介紹某種具體的趨勢策略；相反的，它們是為了探究趨勢策略本質而做的嘗試。趨勢策略容易嗎？容易 —— 利用兩根均線就可以“走兩步”，然而做不好很容易；趨勢策略困難嗎？困難 —— 這裡面有太多的細節需要分析、推敲，持續的做好很困難。
如果你因為文章的標題而點進來並希望看到哪個指標主宰其他的話，那麼我向你表示歉意，可能讓你失望了。但是希望本文能帶給你一些別的啟發。隨著對趨勢策略的進一步理解，我們就可以把有限的精力用到更重要的地方 —— 如倉位控制、風險管理這些 —— 提高趨勢策略的風險收益特徵。
The trend is your friend except at the end where it bends.
參考文獻
- Harvey, A. C. (1984). A unified view of statistical forecasting procedures. Journal of Forecasting , Vol. 3(3), 245 – 275.
- Hodrick, R. J. and E. C. Prescott (1997). Postwar U.S. business cycles: an empirical investigation. Journal of Money, Credit, and Banking , Vol. 29(1), 1 – 16.
- Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of Basic Engineering , Vol. 82(1), 35 – 45.
- Levine, A. and L. H. Pedersen (2016). Which trend is your friend? Financial Analysts Journal , Vol. 72(3), 51 – 66.
- Moskowitz, T., Y. H. Ooi, and L. H. Pedersen (2012). Time Series Momentum. Journal of Financial Economics , Vol. 104(2), 228 – 250.
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