網路流之轉換為對偶圖
網路流之轉換為對偶圖
先來觀察下面的這張圖：
下面的這張卻完全不行。
像這樣任意兩邊的交點在頂點上的圖我們稱為平面圖。
幾條邊圍成一個區域，這個區域稱為一個面。
對平面圖，我們定義對偶圖：
下圖中黑色的是個平面圖，紅色的就是對偶圖。其建立方法是，對每個面建一個點，只要有一條邊是在兩個面之間，我們就對這兩個面對應的點連邊（稍有些繞）。注意是有一條邊就連線。
然後我們就得到萌萌噠的對偶圖一張！
對偶圖就有很多美妙的性質了。比如說，我們發現，對偶圖的一條邊就對應了一條割邊。
既然如此的話，想想狼抓兔子，一條割邊有一個容量，那麼如果我們建它的對偶圖，最短路就是最小割。
所以得出下面的重要定理：
對平面圖來說，最大流 = 最小割 = 對偶圖最短路
所以我們就可以穩一些跑出來狼抓兔子。
1001: [BeiJing2006]狼抓兔子
Time Limit: 15 SecMemory Limit: 162 MB
Description
現在小朋友們最喜歡的"喜羊羊與灰太狼",話說灰太狼抓羊不到，但抓兔子還是比較在行的，
而且現在的兔子還比較笨，它們只有兩個窩，現在你做為狼王，面對下面這樣一個網格的地形：
左上角點為(1,1),右下角點為(N,M)(上圖中N=4,M=5).有以下三種類型的道路
1:(x,y)<==>(x+1,y)
2:(x,y)<==>(x,y+1)
3:(x,y)<==>(x+1,y+1)
道路上的權值表示這條路上最多能夠通過的兔子數，道路是無向的. 左上角和右下角為兔子的兩個窩，
開始時所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窩裡，現在它們要跑到右下解(N,M)的窩中去，狼王開始伏擊
這些兔子.當然為了保險起見，如果一條道路上最多通過的兔子數為K，狼王需要安排同樣數量的K只狼，
才能完全封鎖這條道路，你需要幫助狼王安排一個伏擊方案，使得在將兔子一網打盡的前提下，參與的
狼的數量要最小。因為狼還要去找喜羊羊麻煩.
Input
第一行為N,M.表示網格的大小，N,M均小於等於1000.
接下來分三部分
第一部分共N行，每行M-1個數，表示橫向道路的權值.
第二部分共N-1行，每行M個數，表示縱向道路的權值.
第三部分共N-1行，每行M-1個數，表示斜向道路的權值.
輸入檔案保證不超過10M
Output
輸出一個整數，表示參與伏擊的狼的最小數量.
Sample Input
3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6
Sample Output
14
HINT
2015.4.16新加資料一組，可能會卡掉從前可以過的程式。
Source
HOME Back
題目分析：
,每一個環中間都有一個點(類似於圓方樹?) 然後每一條邊會被相鄰兩個環中的點給穿插。最後我們要建立源點和匯點,讓後讓那些沒有沒有相鄰環的連源匯點。
這就是題目所給圖的對偶圖；
只要求源點到匯點的最短路徑即可；
參考程式碼：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int N=2000006,INF=0x3fffffff,E=N*3;
4 struct ARC {
5int u, val, next;
6inline void init(int a, int b, int c) {
7u=a, val=b, next=c;
8}
9 } arc[E];
10 int head[N], tot, S, T, n, m, dis[N];
11 bool vs[N];
12
13 struct data{
14int u, dis;
15data() {}
16data(int a, int b) : u(a), dis(b) {}
17bool operator < (const data &T) const {
18return dis>T.dis;
19}
20 };
21
22 inline void add_arc(int s, int t, int val)
23 {
24arc[tot].init(t, val, head[s]);
25head[s]=tot++;
26 }
27
28 priority_queue<data> Q;
29 void Dijkstra()
30 {
31fill(dis, dis+T+1, INF);
32fill(vs, vs+T+1, 0);
33while(!Q.empty()) Q.pop();
34dis[S]=0, Q.push(data(S, 0));
35for(int u; !Q.empty(); )
36{
37u=Q.top().u, Q.pop();
38if(vs[u]) continue;
39if(u==T)
40{
41printf("%d\n", dis[T]);
42break;
43}
44vs[u]=1;
45for(int e=head[u]; e!=-1; e=arc[e].next) {
46int v=arc[e].u;
47if(vs[v] || dis[u]+arc[e].val>=dis[v]) continue;
48dis[v]=dis[u]+arc[e].val;
49Q.push(data(v, dis[v]));
50}
51}
52 }
53
54 void read(int &x) {
55char c;
56while((c=getchar())<'0' || c>'9');
57x=c-'0';
58while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
59 }
60
61 void Input() {
62for(int i=0, id1, id2, a; i<=n-1; i++)
63for(int j=1; j<=m-1; j++) {
64read(a);
65id1=((i-1)*(m-1)+j)*2-1;
66id2=(i*(m-1)+j)*2;
67if(i==0) id1=T;
68else if(i==n-1) id2=S;
69add_arc(id1,id2,a);
70add_arc(id2,id1,a);
71}
72
73for(int i=1, id1, id2, a; i<=n-1; i++)
74for(int j=0; j<m; j++) {
75read(a);
76id1=((i-1)*(m-1)+j)*2;
77id2=((i-1)*(m-1)+j+1)*2-1;
78if(j==0) id1=S;
79else if(j==m-1) id2=T;
80add_arc(id1, id2, a);
81add_arc(id2, id1, a);
82}
83
84for(int i=1, id1, id2, a; i<=n-1; i++)
85for(int j=1; j<=m-1; j++) {
86read(a);
87id1=((i-1)*(m-1)+j)*2;
88id2=((i-1)*(m-1)+j)*2-1;
89add_arc(id1, id2, a);
90add_arc(id2, id1, a);
91}
92 }
93
94 int main() {
95read(n), read(m);
96S=0, T=(n-1)*(m-1)*2+1;
97fill(head, head+T+1, -1), tot=0;
98if(n==1 || m==1)
99{
100if(n>m) swap(n, m);
101int ans=INF;
102for(int i=1, a; i<m; i++)
103{
104read(a);
105if(ans>a) ans=a;
106}
107printf("%d\n", ans==INF?0:ans);
108}
109else Input(), Dijkstra();
110return 0;
111 }
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