Dagx中DAG的幾個性質
DAG是有向無環圖，它由結點和邊組成。在Dagx中有一條特殊的路徑，稱為主鏈，它用來實現DAG中結點的全域性定序。一般來講，Dagx的DAG可以表示為如下形式，其中中間粗箭頭連線的為主鏈。
對於DAG中的一個結點，Dagx定義瞭如下幾個屬性：
1. level：表示結點所處的層級，通過遞迴方式進行計算，子結點的level等於父結點中最大的level加1，記作符號LL。
2. main_chain_index：表示結點與主鏈關聯的序號，稱為主鏈序號，記作符號MCIMCI。如果結點位於主鏈上，則MCIMCI為主鏈上前一結點的MCIMCI加1；如果結點不在主鏈上，則其MCIMCI為主鏈上最早包含該結點的主鏈結點的MCIMCI（即離開主鏈的最小位置）；若結點不在主鏈上，且主鏈上任何結點都不包含該結點，則MCIMCI為空。
3. latest_included_mc_index：表示該結點包含的主鏈節點的最大MCIMCI（即從該結點回到主鏈的最大位置），記作符號LIMCILIMCI。創世結點的LIMCILIMCI為空。
4. witnessed_level：表示結點的見證級別，從當前結點的最優父結點沿主鏈開始回溯，當路徑上出現多於7個不同見證人發出的結點時停止回溯，witnessed_level等於回溯停止處的結點的級別level，記作符號WLWL。
給定結點ii和結點jj，它們對應的屬性分別記作：
· LiLi, MCIiMCIi, LIMCIiLIMCIi, WLiWLi
· LjLj, MCIjMCIj, LIMCIjLIMCIj, WLjWLj
如果存在一條從結點jj到達結點ii的路徑，則稱結點ii被結點jj包含或者結點jj包含結點ii。那麼，我們可以推導得出以下一系列的性質：
性質1：子結點的level一定大於父結點的level。
顯然，根據結點level的定義可以很容易得到上面的性質。進一步地，我們可以得到：
性質2：如果結點ii被結點jj包含，則一定有Lj>LiLj>Li；如果Li≥LjLi≥Lj，則結點ii一定不被結點jj包含。
通過反證法可以很容易得出以下性質：
性質3：當MCIMCI不為空時，子結點的MCIMCI一定大於等於父結點的MCIMCI。
性質4：如果結點ii被結點jj包含，則一定有MCIj≥MCIiMCIj≥MCIi；如果MCIi>MCIjMCIi>MCIj，則結點ii一定不被結點jj包含。
性質5：子結點的LIMCILIMCI一定大於等於父結點的LIMCILIMCI。
性質6：如果結點ii被結點jj包含，則一定有LIMCIj≥LIMCIiLIMCIj≥LIMCIi；如果LIMCIi>LIMCIjLIMCIi>LIMCIj，則結點ii一定不被結點jj包含。
性質7：當子結點與父結點的見證人列表相同時，子結點的WLWL一定大於等於父結點的WLWL。
性質8：如果結點 ii 被結點jj包含，則一定有WLj≥WLiWLj≥WLi；如果WLi>WLjWLi>WLj，則結點ii一定不被結點jj包含。
此外，在結點的MCIMCI和LIMCILIMCI這兩個屬性之間也具有如下幾條性質：
性質9：當一個結點的MCIMCI不為空時，則一定滿足MCI > LIMCI。
性質10：如果結點ii被結點jj包含，則一定有MCIj≥MCIi>LIMCIiMCIj≥MCIi>LIMCIi以及MCIj>LIMCIj≥LIMCIiMCIj>LIMCIj≥LIMCIi。
性質11：如果LIMCIi≥MCIjLIMCIi≥MCIj，且MCIjMCIj不為空，則結點ii一定不被結點jj包含；如果LIMCIj≥MCIiLIMCIj≥MCIi，且MCIiMCIi不為空，則結點ii一定被結點jj包含。
性質12：如果結點ii被結點jj包含，且結點jj位於主鏈上，則LIMCIj≥MCIiLIMCIj≥MCIi。
這些性質在快速判斷兩個結點之間的關聯關係時具有很大的作用，可以提高計算速度。具體的一些程式碼示例可以參考 graph.js。
作者：Alan&單向研究院
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